Question

ME AJUDEM? OBRIGADA
1- Determine no conjunto IR, o conjunto solução de cada uma das seguintes equações biquadradas:
a)$x^{4}-8 x^{2}-9=0$
b)$x^{4}-4= 3x^{2}$
c)$x^{4}-16 x^{2}=0$
d)$x^{4}-8 x^{2}+16=0$

2- Para que valores reais de x as expressões $11 x^{4}-6 x^{2}$ e $x^{2}+4$ apresentam valores numéricos iguais?

3- Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações, sendo U=IR:
a) ($x^{2}-1)( x^{2}-12)+24=0$
b) $( x^{2}+2){2}=2.( x^{2}+6)$
c) $(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)+ 5x^{2}=20$
d) $x^{2}( x^{2}-9)=-20$

4- Qual é a soma das raízes reais positivas da equação $x^{4}-26 x^{2}+25=0$?

Answer 1

ME AJUDEM? OBRIGADAATENÇÃO PARA TODOS (exceto (2))

Equação BIQUADRADA ( tem 4 raizes)
usaremos ARTIFICIO  ( tornar equação do 2º GRAUS)
x^4 = y²
x² = y


1- Determine no conjunto IR, o conjunto solução de cada uma das seguintes equações biquadradas: 
a) 

x^4 - 8x² - 9 = 0
y²  - 8x - 9 = 0
a = 1
b = - 8
c = - 9
Δ  = b² - 4ac
Δ = (-8)² - 4(1)(-9)
Δ = + 64 + 36
Δ = 100 ---------------------------->√Δ = 10  porque √100 = 10
se
Δ > 0 ( DUAS raízes diferentes)
(baskara)
         - b + √Δ
x = -----------------
            2a

x' = - (-8) + √100/2(1)
x' = + 8 + 10/2
x' = 18/2
x' = 9
e
x" = = -(-8) - √100/2(1)
x" =  + 8 - 10/2
x" = -2/2
x" - 1

assim   VOLTANDO NO ARTIFICIO
para
x = 9
x² = y
x² = 9
x = + √9         lembrando que : √9 = 3 
x = + 3
e
para
x = - 1
x² = y
x² = - 1
x = + √-1   ( RAIZ de indice PAR não existe RAIZ REAL)
X = Ф

x' = - 3
x" = + 3
x'" = Ф
x"" = Ф


b)    

x^4 - 4 = 3x²   ( igualar a ZERO)

X^4 - 4 - 3X² = 0   ARRUMAR A CASA

x^4 - 3x² - 4 = 0    ( instrução acima)
y²  - 3y  - 4 = 0
a = 1
b = - 3
c = - 4
Δ = b² - 4ac
Δ = (-3)² - 4(1)(-4)
Δ = + 9 + 16
Δ = 25 ----------------------------> √Δ = 5 porque √25 = 5
se
Δ > 0 ( DUAS raízes diferentes)
(baskara)
         - b + √Δ
y = -----------------
            2a

y' = - (-3) + √25/2(1)
y' = + 3 + 5/2
y' = 8/2
y =- 4
e
y" = -(-3) - √25/2(1)
y" = + 3 - 5/2
y" = - 2/2
y" = - 1

VOLTANDO
x² = y
para 
y = 4
x² = y
x² = 4
x = + √4      lembrando que √4 = 2
x =  +  2
e
para
y = - 1
x² = y
x² = - 1
x = + √-1  ( raiz de Indice PAR com número NEGATIVO não existe raiz real)

assim
x' = - 2
x" = + 2
x'" = Ф
x"" = Ф




c)  (equação BIQUADRADA incompleta)

x^4 - 16x² = 0
x²(x² - 16) = 0
x² = 0
x = + √0
x = 0
e
(x² - 16) = 0
x² - 16 = 0
x² = + 16
x = + √16             lembrando que √16 = 4 

x = + 4

assim

x' e x" = 0 
x'" = -4
x"" = + 4


d)

x^4 - 8x² + 16 = 0     instrução acima
y²  - 8y  + 16 = 0
a = 1
b = - 8
c = 16
Δ = b² - 4ac
Δ = (-8)² - 4(1)(16)
Δ = + 64 - 64
Δ = 0
se
Δ = 0 ( DUAS raizes IGUAIS)
então

y = -b/2a
y = -(-8)/2(1)
y = + 8/2
y = 4

assim
PARA
y = 4
x² = y
x² = 4
x = + √4     lembrando que √4 = 2
x = + 2

assim
x' = - 2
x" = + 2
x'" = - 2
x"" = + 2


2- Para que valores reais de x as expressões  e  apresentam valores numéricos iguais? 
para
11x^4 - 6x²                                                         x² + 4
11(0)^4 - 6(0)² = 0                                              (0)²+  4  = 0+1 = 4 
11(1)^4 - 6(1)² = 11 - 6  = 5                                 (1)² + 4 = 1 + 4 = 5
11(-1)^4 - 6(-1)² = 11 + 6 = 17                              (-1)² + 4 = 1 +4 = 5 

então
x = 1

3- Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações, sendo U=IR: 


a) (
(x^4 - 12x² - 1x² + 12) + 24 = 0
x^4 - 13x² + 12 + 24 = 0
x^4 - 13x² +  36 = 0
y² - 13y + 36 = 0
a = 1
b = - 13
c = 36
Δ = b² - 4ac
Δ = (-13)² - 4(1)(36)
Δ = + 169 - 144
Δ =  25 --------------------------> √Δ = 5 porque √25 = 5
se
Δ > 0 ( DUAS raízes diferentes)
(baskara)
         - b + √Δ
y = -----------------
            2a


y' = -(-13) +√25/2(1) 
y' = + 13 + 5/2
y' = 18/2
y' = 9
e
y" = -(-13) - √25/2(1)
y" = + 13 - 5/2(1)
y" = 8/2
y" = 4
asim
para 
y = 9
x² = y
x² = 9 
x = + √9
x = + 3
e
para
y = 4
x² = y
x² = 4
x = + √4
x = + 2

então
x' = - 3
 x" = + 3
x'" = - 2
x"" = + 2




b) 

(x² + 2)2 = 2(x² + 6)

2x² + 4 = 2x² + 12
2x² - 2x² + 4 = 12
2x² - 2x² = 12 - 4
    0x² = 8
x² = 8/0
x² = Ф




























c)  

      (x + 2)(x - 2)(x + 1)(x-1)+ 5x² = 20
(x² - 2x + 2x - 4)(x² - 1x + 1x - 1) + 5x² = 20
 (x²       0     - 4)( x²       0      - 1) + 5x² = 20 

          (x² - 4)(x² - 1) + 5x² = 20
(x^4 -1x² - 4x² + 4) + 5x² = 20
 x^4  - 5x²     + 4 + 5x² = 20
x^4 - 5x² + 5x² + 4 = 20
x^4          0      + 4 = 20

x^4 + 4 = 20
x^4 = 20 - 4
x^4 = 16
x = ^4√16                     (2x2x2x2 = 2^4)
x= ^4√2^4   ( elimina a ^4√(raiz a quarta) com o (^4)
x = 2

assim

x' = 2
x'' = - 2
x'" = - 2
x"" = 2

d) 

x²(x² - 9) = - 20
x^4 - 9x² = = - 20   igualar a zero

x^4 - 9x² + 20 = 0   istrunção acima
y² - 9y + 20 = 0
a = 1
b = - 9
c = 20
Δ = b² - 4ac
Δ = (-9)² - 4(1)(20)
Δ= + 81 - 80
Δ = 1 --------------------√Δ = 1  porque √1 = 1
se
Δ > 0 ( DUAS raízes diferentes)
(baskara)
         - b + √Δ
y = -----------------
            2a

y' = - (-9) + √1/2(1)
y' = + 9 + 1/2
y' = 10/2
y' = 5
e
y" = -(-9) - √1/2(1)
y" = + 9 - 1/2
y" = 8/2
y" = 4

para
y = 5
x² = y
x² = 5
x = + √5
e
para
y = 4
x² = y
x² = 4
x = + √4
x = + 2

então

x' = - √5
x" = + √5
x'" = -2
x"" = + 2


4- Qual é a soma das raízes reais positivas da equação ?

x^4 - 26x² + 25 = 0
y² - 26y + 25 = 0
a = 1
 b = - 26
c = 25
Δ = b² - 4ac
Δ = (-26)² - 4(1)(25)
Δ = + 676 - 100
Δ = 576 ------------------>√Δ = 24  porque √576 = 24
 se
Δ > 0 ( DUAS raízes diferentes)
(baskara)
         - b + √Δ
y = -----------------
            2a

y' = -(-26) + √576/2(1)
y' = + 26 + 24/2
y' = 50/2
y' = 25

e
 y" = -(-26) - √576/2(1)
y" = + 26 - 24/2
y" = 2/2
y" = 1

assim
para
y = 25
x² = y
x² = 25
x = + √25

x  = + 5

para
y = 1
x² = y
x² = = 1
x = + √1
x = + 1

então

x' = + 5
x'' = - 5
x'" = + 1
x'''' = = - 1

SOMA das raizes POSITIVAS
x' + x'" = 
5 + 1 = 6

Answer 2

Equação BIQUADRADA ( tem 4 raizes)

usaremos ARTIFICIO ( tornar equação do 2º GRAUS)

x^4 = y²

x² = y

1- Determine no conjunto IR, o conjunto solução de cada uma das seguintes equações biquadradas:

a)

x^4 - 8x² - 9 = 0

y² - 8x - 9 = 0

a = 1

b = - 8

c = - 9

Δ = b² - 4ac

Δ = (-8)² - 4(1)(-9)

Δ = + 64 + 36

Δ = 100 ---------------------------->√Δ = 10 porque √100 = 10

se

Δ > 0 ( DUAS raízes diferentes)

(baskara)

- b + √Δ

x = -----------------

2a

x' = - (-8) + √100/2(1)

x' = + 8 + 10/2

x' = 18/2

x' = 9

e

x" = = -(-8) - √100/2(1)

x" = + 8 - 10/2

x" = -2/2

x" - 1

assim VOLTANDO NO ARTIFICIO

para

x = 9

x² = y

x² = 9

x = + √9 lembrando que : √9 = 3

x = + 3

e

para

x = - 1

x² = y

x² = - 1

x = + √-1 ( RAIZ de indice PAR não existe RAIZ REAL)

X = Ф

x' = - 3

x" = + 3

x'" = Ф

x"" = Ф

b)

x^4 - 4 = 3x² ( igualar a ZERO)

X^4 - 4 - 3X² = 0 ARRUMAR A CASA

x^4 - 3x² - 4 = 0 ( instrução acima)

y² - 3y - 4 = 0

a = 1

b = - 3

c = - 4

Δ = b² - 4ac

Δ = (-3)² - 4(1)(-4)

Δ = + 9 + 16

Δ = 25 ----------------------------> √Δ = 5 porque √25 = 5

se

Δ > 0 ( DUAS raízes diferentes)

(baskara)

- b + √Δ

y = -----------------

2a

y' = - (-3) + √25/2(1)

y' = + 3 + 5/2

y' = 8/2

y =- 4

e

y" = -(-3) - √25/2(1)

y" = + 3 - 5/2

y" = - 2/2

y" = - 1

VOLTANDO

x² = y

para

y = 4

x² = y

x² = 4

x = + √4 lembrando que √4 = 2

x = + 2

e

para

y = - 1

x² = y

x² = - 1

x = + √-1 ( raiz de Indice PAR com número NEGATIVO não existe raiz real)

assim

x' = - 2

x" = + 2

x'" = Ф

x"" = Ф

c) (equação BIQUADRADA incompleta)

x^4 - 16x² = 0

x²(x² - 16) = 0

x² = 0

x = + √0

x = 0

e

(x² - 16) = 0

x² - 16 = 0

x² = + 16

x = + √16 lembrando que √16 = 4

x = + 4

assim

x' e x" = 0

x'" = -4

x"" = + 4

d)

x^4 - 8x² + 16 = 0 instrução acima

y² - 8y + 16 = 0

a = 1

b = - 8

c = 16

Δ = b² - 4ac

Δ = (-8)² - 4(1)(16)

Δ = + 64 - 64

Δ = 0

se

Δ = 0 ( DUAS raizes IGUAIS)

então

y = -b/2a

y = -(-8)/2(1)

y = + 8/2

y = 4

assim

PARA

y = 4

x² = y

x² = 4

x = + √4 lembrando que √4 = 2

x = + 2

assim

x' = - 2

x" = + 2

x'" = - 2

x"" = + 2

2- Para que valores reais de x as expressões e apresentam valores numéricos iguais?

para

11x^4 - 6x² x² + 4

11(0)^4 - 6(0)² = 0 (0)²+ 4 = 0+1 = 4

11(1)^4 - 6(1)² = 11 - 6 = 5 (1)² + 4 = 1 + 4 = 5

11(-1)^4 - 6(-1)² = 11 + 6 = 17 (-1)² + 4 = 1 +4 = 5

então

x = 1

3- Determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações, sendo U=IR:

a) (

(x^4 - 12x² - 1x² + 12) + 24 = 0

x^4 - 13x² + 12 + 24 = 0

x^4 - 13x² + 36 = 0

y² - 13y + 36 = 0

a = 1

b = - 13

c = 36

Δ = b² - 4ac

Δ = (-13)² - 4(1)(36)

Δ = + 169 - 144

Δ = 25 --------------------------> √Δ = 5 porque √25 = 5

se

Δ > 0 ( DUAS raízes diferentes)

(baskara)

- b + √Δ

y = -----------------

2a

y' = -(-13) +√25/2(1)

y' = + 13 + 5/2

y' = 18/2

y' = 9

e

y" = -(-13) - √25/2(1)

y" = + 13 - 5/2(1)

y" = 8/2

y" = 4

asim

para

y = 9

x² = y

x² = 9

x = + √9

x = + 3

e

para

y = 4

x² = y

x² = 4

x = + √4

x = + 2

então

x' = - 3

x" = + 3

x'" = - 2

x"" = + 2

b)

(x² + 2)2 = 2(x² + 6)

2x² + 4 = 2x² + 12

2x² - 2x² + 4 = 12

2x² - 2x² = 12 - 4

0x² = 8

x² = 8/0

x² = Ф

c)

(x + 2)(x - 2)(x + 1)(x-1)+ 5x² = 20

(x² - 2x + 2x - 4)(x² - 1x + 1x - 1) + 5x² = 20

(x² 0 - 4)( x² 0 - 1) + 5x² = 20

(x² - 4)(x² - 1) + 5x² = 20

(x^4 -1x² - 4x² + 4) + 5x² = 20

x^4 - 5x² + 4 + 5x² = 20

x^4 - 5x² + 5x² + 4 = 20

x^4 0 + 4 = 20

x^4 + 4 = 20

x^4 = 20 - 4

x^4 = 16

x = ^4√16 (2x2x2x2 = 2^4)

x= ^4√2^4 ( elimina a ^4√(raiz a quarta) com o (^4)

x = 2

assim

x' = 2

x'' = - 2

x'" = - 2

x"" = 2

d)

x²(x² - 9) = - 20

x^4 - 9x² = = - 20 igualar a zero

x^4 - 9x² + 20 = 0 istrunção acima

y² - 9y + 20 = 0

a = 1

b = - 9

c = 20

Δ = b² - 4ac

Δ = (-9)² - 4(1)(20)

Δ= + 81 - 80

Δ = 1 --------------------√Δ = 1 porque √1 = 1

se

Δ > 0 ( DUAS raízes diferentes)

(baskara)

- b + √Δ

y = -----------------

2a

y' = - (-9) + √1/2(1)

y' = + 9 + 1/2

y' = 10/2

y' = 5

e

y" = -(-9) - √1/2(1)

y" = + 9 - 1/2

y" = 8/2

y" = 4

para

y = 5

x² = y

x² = 5

x = + √5

e

para

y = 4

x² = y

x² = 4

x = + √4

x = + 2

então

x' = - √5

x" = + √5

x'" = -2

x"" = + 2

4- Qual é a soma das raízes reais positivas da equação ?

x^4 - 26x² + 25 = 0

y² - 26y + 25 = 0

a = 1

b = - 26

c = 25

Δ = b² - 4ac

Δ = (-26)² - 4(1)(25)

Δ = + 676 - 100

Δ = 576 ------------------>√Δ = 24 porque √576 = 24

se

Δ > 0 ( DUAS raízes diferentes)

(baskara)

- b + √Δ

y = -----------------

2a

y' = -(-26) + √576/2(1)

y' = + 26 + 24/2

y' = 50/2

y' = 25

e

y" = -(-26) - √576/2(1)

y" = + 26 - 24/2

y" = 2/2

y" = 1

assim

para

y = 25

x² = y

x² = 25

x = + √25

x = + 5

para

y = 1

x² = y

x² = = 1

x = + √1

x = + 1

então

x' = + 5

x'' = - 5

x'" = + 1

x'''' = = - 1

SOMA das raizes POSITIVAS

x' + x'" =

5 + 1 = 6