Question

Me ajudem!!!! O argumento de z = -3 + 3i é? (Com cálculos)

Answer 1

Resposta:

Olá bom dia!

O argumento (arg(z)) de um número complexo z = x + yi é o ângulo β formado entre o segmento de reta e o eixo horizontal. Pode ser determinado através de:

cos β = x / |z|

sen β = y / |z|

Onde:

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$

Então para z = -3 + 3i :

x = -3

y = +3

$|z| = \sqrt{(-3)^2+(3)^2}$

$|z| = \sqrt{9+9}$

$|z|=\sqrt{2*9}$

$|z| = 2\sqrt{3}$

sen β = 3 / 2$\sqrt{3}$

sen β = $(3*2\sqrt{3}) / (2\sqrt{3} * 2\sqrt{3} )$

sen β = $6\sqrt{3}/4*3$

sen β = $\sqrt{3}/2$

O ângulo β cujo seno é  senβ = $\sqrt{3}/2$  é:

arg(z) = β = π / 3

ou

arg(z) = β = 60°

Answer 2

De acordo os cálculos concluímos que o O argumento de z = -3 + 3 i é de

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \theta = \arg(z) = \dfrac{3\: \pi}{4} \: rad } }$

Argumento de um número complexo não nulo, $\textstyle \sf \sf z = a +bi$, com $\textstyle \sf \sf a, b$ números reais não simultaneamente nulos, é qualquer número real θ tal que:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf \cos{\theta} = \dfrac{a}{\mid z \mid} \\ \\\sf \sin{\theta} = \dfrac{b}{\mid z \mid} \\ \\\sf ( \: com~ 0\leq \theta \leq 2\pi \:) \end{cases} } }$

Onde:

$\large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{ \mid z \mid =\sqrt{a^2 +b^2} } } }$

é o módulo do número complexo z. Escreve-se habitualmente $\textstyle \sf \sf \theta = \arg (z)$.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \mathsf{ z = - 3 + 3i }$

Primeiramente devemos calcular o módulo de z.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \mid z \mid =\sqrt{a^2 +b^2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \mid z \mid =\sqrt{(-3)^2 +(3)^2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \mid z \mid =\sqrt{9 +9 } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \mid z \mid =\sqrt{ 18 } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \mid z \mid =\sqrt{ 9 \cdot 2 } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \mid z \mid =\sqrt{ 9} \:\cdot \sqrt{2} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \mid z \mid = 3\: \sqrt{2} }$

Agora devemos determinar o argumento.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left. \begin{array}{c} \sf \cos{\theta} = \dfrac{a}{\mid z \mid} = \dfrac{- \backslash\!\!\!{3}}{\backslash\!\!\!{ 3} \sqrt{2} } = -\: \dfrac{1 }{\sqrt{2} } \cdot \dfrac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } = -\: \dfrac{\sqrt{2} }{2} \\ \\ \\\sf \sin{\theta} = \dfrac{b}{\mid z \mid} = \dfrac{ \backslash\!\!\!{3}}{\backslash\!\!\!{ 3} \sqrt{2} } = -\: \dfrac{1 }{\sqrt{2} } \cdot \dfrac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } = \:\dfrac{\sqrt{2} }{2} \end{array} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \theta = \arg(z) = \dfrac{3\: \pi}{4} \: rad }$

                ou

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \theta = \arg(z) = 135^\circ }$

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