Question

ME AJUDEM NESSA GALERA POR FAVOR!

Answer 1

$f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$

a) $x=\dfrac{2f^{-1}(x)+1}{f^{-1}(x)-3}$

$2f^{-1}(x)+1=xf^{-1}(x)-3x$

$xf^{-1}(x)-2f^{-1}(x)=3x+1$

$f^{-1}(x)(x-2)=3x+1$

$f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}$.

b) O domínio de uma função é o conjunto de valores que $x$ pode assumir, de modo que a função fique bem definida.

Observe que, $f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}$, tem $x$ no denominador, que não pode ser zero, pois não existe divisão por zero.

Com isso, $x-2\ne0$, donde, $x\ne2$.

O domínio da função $f^{-1}=\dfrac{3x+1}{x-2}$ é o conjunto dos números reais menos o número 2.

$D(f)=\{x\in\mathbb{R}~|~x\ne2\}$.

c) Observe que, se $f(x)=3$, temos $\dfrac{3x+1}{x-2}=3$, donde, $3x+1=3x-6$, ou seja, $1=-6$. Absurdo.

Com isso, $Im(f)=\{x\in\mathbb{R}~|~x\ne3\}$.

d) $f^{-1}(x)=\dfrac{3x+1}{x-2}$

$f^{-1}(-4)=\dfrac{3(-4)+1}{-4-2}=\dfrac{-12+1}{-6}=\dfrac{-11}{-6}=\dfrac{11}{6}$.