Question

ME AJUDEM
Determine o conjunto solução sendo U = IR

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Igor, que a resolução é simples, porém um pouco trabalhosa porque você colocou muitas questões numa só mensagem.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para resolver as seguintes expressões:

a) 5*2ˣ⁺² - 3*2ˣ⁻² - 308 = 0

Veja que:

2ˣ⁺² = 2ˣ*2² = 2ˣ*4 = 4*2ˣ
e
2ˣ⁻² = 2ˣ/2² = 2ˣ/4.

Assim, fazendo as devidas substituições teremos;

5*4*2ˣ - 3*2ˣ/4 - 308 = 0 --- desenvolvendo, temos:
20*2ˣ - 3*2ˣ / 4 - 308 = 0 ---mmc = 4. Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

(4*20*2ˣ - 1*3*2ˣ - 4*308)/4 = 0 --- desenvolvendo, temos:
(80*2ˣ - 3*2ˣ - 1.232)/4 = 0 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
80*2ˣ - 3*2ˣ - 1.232 = 4*0 --- ou apenas:
80*2ˣ - 3*2ˣ - 1.232 = 0 --- passando 1.232 para o 2º membro, temos:
80*2ˣ - 3*2ˣ = 1.232 --- vamos colocar 2ˣ em evidência, ficando:
2ˣ*(80 - 3) = 1.232
2ˣ*(77) = 1.232 ---- isolando 2ˣ , teremos;
2ˣ = 1.232/77 --- note que esta divisão dá exatamente "16". Logo:
2ˣ = 16 --- note que 16 = 2⁴. Assim, ficaremos:
2ˣ = 2⁴ ---- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
x = 4 <-- Esta é a resposta para o item "a".

b) 2ˣ + 4ˣ = 20 ----- note que 4 = 2². Assim teremos:

2ˣ+ (2²)ˣ = 20 ---- desenvolvendo, teremos:
2ˣ + 2²*ˣ = 20
2ˣ + 2²ˣ = 20 ---- vamos colocar 2ˣ em evidência. Fazendo isso, teremos (note: quando se coloca um termo em evidência, o que tem dentro dos parênteses ficam dividindo o termo em evidência):

2ˣ*(1 + 2²) = 20
2ˣ*(1 + 4) = 20
2ˣ*( 5 ) = 20 ---- isolando 2ˣ ficaremos com:
2ˣ = 20/5
2ˣ = 4 ---- como 4 = 2², teremos:
2ˣ = 2² ---- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
x = 2 <-- Esta é a resposta para o item "b".

c) log[log(3x-5)] = 0

Note que o "0" do 2º membro poderá ser substituído por log (1), pois o logaritmo de "1", em qualquer base sempre é igual a "0". Logo, ficaremos assim:

log[log(3x-5)] = log (1) ---- como as bases são as mesmas (note que estamos trabalhando com a base 10), então poderemos igualar os logaritmandos (note que o logaritmando do 1º membro é log(3x-5), pois estamos trabalhando com log[log (3x-5) e o logaritmando do 2º membro é "1"], ok? Então ficaremos com:

log (3x-5) = 1 --- veja que o "1", que está no 2º membro, poderá ser substituído por log (10), pois lembre-se que log(10), na base 10, é igual a "1". Então ficaremos com:

log (3x-5) = log (10) --- como as bases são iguais (repetindo: estamos trabalhando com base 10), então poderemos igualar novamente os logaritmandos. Assim:

3x - 5 = 10
3x = 10 + 5
3x = 15
x = 15/3
x = 5 <--- Esta é a resposta para o item "c".

d) log₂ (x) = 1 + log₄ (x-1) --- veja que 4 = 2². Assim, teremos:

log₂ (x) = 1 + log₂² (x-1)

Agora veja isto e não esqueça mais: há uma propriedade logarítmica, segundo a qual tem-se: logₐⁿ (K) = (1/n)*logₐ (K).
Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então vamos aplicá-la na nossa expressão, que é esta:

log₂ (x) = 1 + log₂² (x-1) ---- aplicando a propriedade acima, teremos;
log₂ (x) = 1 + (1/2)*log₂ (x-1) ---- passando o "1/2" para expoente do logaritmando "x-1", teremos (isto é mais uma propriedade logarítmica):

log₂ (x) = 1 + log₂ (x-1)¹/²

Veja que o "1" que está no 2º membro, poderá ser substituído por log₂ (2), pois log₂ (2) = 1. Assim, fazendo essa substituição, teremos;

log₂ (x) = log₂ (2) + log₂ (x-1)¹/² ---- vamos transformar, no 2º membro, a soma em produto (isto é mais uma propriedade logarítmica):

log₂ (x) = log₂ [2*(x-1)¹/²] ---- como as bases são as mesmas, então poderemos igualar os logaritmandos. Fazendo isso teremos que:

x = 2*(x-1)¹/² ----note que (x-1)¹/² é a mesma coisa que √(x-1). Assim, substituindo-se, teremos:

x = 2*√(x-1) --- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos;

x² = [2*√(x-1)]² ---- desenvolvendo, teremos:
x² = 2²*(x-1)
x² = 4*(x-1) ---- desenvolvendo o produto indicado no 2º membro, temos:
x² = 4x - 4 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
x² - 4x + 4 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes;

x' = x'' = 2.

Assim, a resposta para a questão "d" será:

x = 2 <--- Esta é a resposta para o item "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.