Question

me ajudem com os exercícios com a estrelinha? o resto eu sei fazer

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Para responder esses exercícios será necessário lembrar das fórmulas da área e do volume da esfera.

$A_E=4\pi r^2\\\\V_E=\dfrac{4}{3}\pi r^3$

Onde $r$ é o raio da esfera.

Exercício 55.

Lembre-se que o raio de uma esfera é metade do diâmetro, que nesse caso será 6 cm.

Aplicando a fórmula da área, teremos:

$A_E=4\pi r^2\\\\\Rightarrow A_E=4\pi 6^2\\\\\Rightarrow A_E=4\cdot36\pi\\\\\Rightarrow A_E=144\pi \ cm^2$

Agora aplicando a fórmula do volume:

$V_E=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 6^3\\\\\Rightarrow V_E=\dfrac{4}{3}\pi\cdot216\\\\\Rightarrow V_E=288\pi\ cm^3$

Exercício 56.

Como temos a área da esfera, podemos usar formula da área para descobrir o seu raio e então descobrir seu volume.

$A_E=4\pi r^2\\\\\Rightarrow 576\pi=4\pi r^2\\\\\Rightarrow r^2=\dfrac{576\pi}{4\pi}\\\\\Rightarrow r^2= 144\\\\\Rightarrow r=12\ cm$

Agora aplicando a fórmula do volume:

$V_E=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 12^3\\\\\Rightarrow V_E=\dfrac{4}{3}\pi\cdot1728\\\\\Rightarrow V_E=2304\pi\ cm^3$

Exercício 57.

Esse é o exercício mais difícil. Será necessário que você olhe na imagem que enviei. Nele está a esfera, a circunferência central e o circulo determinado pelo plano logo acima. O ponto verde em baixo é o centro da esfera, o de cima é o centro do círculo determinado pelo plano, e em vermelho está um triângulo retângulo. O ângulo em azul é o ângulo reto do triângulo. Denotei como d a distância entre o centro e o plano, r o raio da esfera menor, e a hipotenusa do triângulo tamanho como R (Pois ela sai do centro da esfera e toca na superfície dela, logo é um raio da esfera).

Agora vamos para os cálculos. Basta aplicar Pitágoras no triângulo, teremos:

$R^2=r^2+d^2\\\\\Rightarrow 4^2=1^2+d^2\\\\\Rightarrow 16 = 1 + d^2\\\\\Rightarrow 16-1 = d^2\\\\\Rightarrow d^2=15\\\\\Rightarrow d=\sqrt{15}\ cm$