Question

ME AJUDEM COM ESSA QUESTÃO POR FAVOR, MANDEI A IMAGEM!

Answer 1

Uma forma de resolver a questão é escrever a quadrática na forma:

$y(x)=k(x-z_1)(x-z_2),$

onde $k$ é uma constante e $z_1$ e $z_2$ são as raízes (zeros) da parábola. Neste caso, temos $z_1 = -1$ e $z_2 = 3$, donde:

$y(x)=k\left(x-(-1)\right)\left(x-3\right) = k(x+1)(x-3).$

Do gráfico na figura, notamos que $y(0) =6$, pelo que podemos usar este valor para determinar $k$:

$y(0) = 6 \iff k(0+1)(0-3) = 6 \iff -3k = 6 \iff a = -2.$

Note que o valor negativo de $k$ está de acordo com o facto de a concavidade da parábola estar voltada para baixo (isto é, tem forma de ∩). Obtemos então:

$y(x) = -2(x+1)(x-3).$

Por fim, basta aplicar a propriedade distributiva:

$y(x) = -2(x^2 - 3x + x - 3) = -2(x^2 - 2x - 3) = -2x^2 + 4x + 6.$

Comparando agora com a forma

$ax^2 + bx + c,$

obtemos a resposta:

$\begin{cases}a = -2 \\ b = 4 \\ c = 6\end{cases}.$

Resposta: opção B).

Outra maneira de resolver a questão é utilizar a propriedade que diz que a expressão de uma parábola é da forma:

$y(x) = C(x^2 - Sx + P),$

onde $S$ representa a soma das raízes e $P$ o seu produto.

Neste caso, teremos:

$S = z_1 + z_2 = -1 + 3 = 2 \\P = z_2 \times z_2 = -1 \times 3 = -3.$

Assim, vem:

$y(x) = C(x^2 - Sx + P) = C(x^2 - 2x + (-3)) = C(x^2 - 2x - 3).$

Substituindo agora a informação $y(0) = 6$, determinamos $C$:

$y(0) = 6 \iff C(0^2 - 2 \times 0 - 3) = 6 \iff -3C = 6 \iff C =-2.$

Finalmente, obtemos o mesmo resultado que antes:

$y(x) = -2(x^2 - 2x - 3) = -2x^2 + 4x + 6.$