Question

Me ajudem com essa questão 2!

Answer 1

A)

A soma dos termos com índice par é igual a 4:

$a_{2}+a_{4}+a_{6}+a_{8}+...=4\\a.r+a.r^{3}+a.r^{5}+a.r^{7}+...=4$

Se essa PG é infinita, os termos de índice par também são infinitos, logo essa soma é a soma dos termos infinitos de uma P.G com a₁ = a.r e a₂ = a.r³. Podemos tirar a razão x dessa P.G, que é q²

$S_{n}=a_{1}/(1-x)=4\\a*q/(1-q^{2})=4$

A soma dos termos com índice múltiplo de 3 é 16/13:

$a_{3}+a_{6}+a_{9}+...=16/13\\a.q^{2}+a.q^{5}+a.q^{8}+...=16/13$

Veja que essa também é uma soma infinita de termos de uma outra P.G, dessa vez com a₁ = a.q² e a₂ = a.q⁵, logo, sua razão y vale q³

$S_{n}=a_{1}/(1-y)=16/13\\a*q^{2}/(1-q^{3})=16/13$

B)

$a*q/(1-q^{2})=4\\a*q=4(1-q^{2})$

$a*q^{2}/(1-q^{3})=16/13\\13*a*q^{2}=16*(1-q^{3})\\13*a*q*q=16*(1-q^{3})$

Como a*q = 4(1 - q²):

$13*4(1-q^{2})*q=16(1-q^{3})\\13*q*1(1-q^{2})=4(1-q^{3})\\13q-13q^{3}=4-4q^{3}\\-13q^{3}+4q^{3}+13q-4=0\\-9q^{3}+13q-4=0$

Testando uma raiz q = 1:

$-9*1^{3}+13*1-4=-9+13-4=0$

Logo, 1 é raiz. Podemos então dividir o polinômio pelo binômio q - 1 pelo algoritmo de briot-ruffini.

Dividindo o polinômio por q - 1, reduzimos a equação para - 9q² - 9q + 4 = 0

Não preciso resolver a equação né? Vou falar logo as raízes:

q' = - 4 / 3
q'' = 1 / 3

Logo, as raízes de - 9q³ + 13q - 4 são:

q = 1 (Não serve, transformaria denominadores em 0)
q = - 4 / 3 (Não serve, a razão da PG é positiva)
q = 1 / 3 (Valor aceito para a razão da PG)

Então, descobrimos que q = 1 / 3:

$a*q=4(1-q^{2})\\a*1/3=4(1-[1/3]^{2})\\a*1/3=4(1-[1/9])\\a*1/3=4(8/9)\\a*1/1=4*8/3\\a=32/3$

Resposta: a = 32 / 3 e q = 1 / 3