Question

ME AJUDEM
Calcule os limites (sem usar L'Hopital)

Answer 1

A questão pede para resolvermos os limites sem a regra de L'Hôpital, portanto vamos ter que trabalhar manipulações algébricas.

• Vamos iniciar pelo item a):

$(a) \lim _{x \to \infty } \sqrt{x} - \sqrt{x + 2}$

Note que se fizermos a substituição imediata do valor a qual o "x" tende, obteremos uma indeterminação do tipo infinito - infinito. A saída será basicamente racionalizar, ou seja, multiplicar o numerador e o denominador pelo seu conjugado. Fazendo isso, temos que:

$\frac{ \sqrt{x} - \sqrt{x + 2} }{1} . \frac{ \sqrt{x} + \sqrt{x + 2} }{ \sqrt{x} + \sqrt{x + 2} } = \frac{x - x - 2}{ \sqrt{x} + \sqrt{x + 2} } \\ \\ \boxed{ \frac{ - 2}{ \sqrt{x} + \sqrt{x + 2} } }$

Certamente sumimos com a indeterminação, portanto vamos agora substituir o valor a qual o "x" tende:

$\lim _{x \to \infty } \frac{ - 2}{ \sqrt{x} + \sqrt{x + 2} } \\ \\ \frac{ - 2}{ \sqrt{ \infty } + \sqrt{ \infty + 2} } = \frac{ - 2}{ \infty } = 0$

Agora lembre-se que qualquer número finito dividido por um infinito o resultado é 0, já que a divisão de um número pequeno por um número muito grande, o resultado sempre tende a 0. Portanto o resultado do limite é:

$\boxed{ \boxed{ \lim _{x \to \infty } \sqrt{x} - \sqrt{x + 2} = 0 }}$

• Agora vamos ao item b):

$(b) \lim_{x \to5 {}^{ - } }\frac{x {}^{2} - 25}{x {}^{2} - 10x + 25}$

Esse limite também gerará uma indeterminação quando feita a substituição imediata do valor a qual o "x" tende, portanto vamos logo iniciar com a manipulação. A manipulação que vamos fazer é bem básica, pois utiliza de produtos notáveis:

$x {}^{2} - 25 = (x + 5).(x - 5) \\ x {}^{2} - 10x + 25 = (x {}^{} - 5) {}^{2} \:$

Substituindo essas novas expressões, teremos:

$\frac{(x +5).(x - 5)}{(x - 5) {}^{2} } = \frac{(x + 5)}{(x - 5)}$

Provavelmente sumimos com a indeterminação, portanto vamos substituir o valor a qual o "x" tende:

$\frac{x + 5}{x - 5} = \frac{5 + 5 {}^{ - } }{5 - 5 {}^{ - } } = \frac{10}{0 {}^{ - } } = \frac{10}{ - \infty } = - \infty$

Ali ficou -infinito pois quando temos um número divido por outro que se aproxima de 0 pela esquerda, tem-se um número muito grande, só que negativo, por esse motivo é -infinito. (Na imagem anexada tem-se uma explicação). Portanto esse é o valor do limite:

$\boxed{ \boxed{\lim_{x\to5 {}^{ - } } \frac{x {}^{2} - 25 }{x {}^{2} - 10x + 25 } = - \infty }}$

• Agora vamos para o item c):

$(c) \lim_{x \to 0}x {}^{8} \: . \: \cos \left( \frac{1}{x {}^{2} } \right)$

Mais uma vez temos uma Indeterminação. Para sumir com essa indeterminação, usaremos o teorema do confronto. Para iniciar o Teorema, pegamos a expressão trigonométrica e colocamos ela entre os valores máximos e mínimos que ela assume, como temos o cosseno, ela estará entre -1 é 1. Fazendo isso, temos:

$- 1 \leqslant \cos \left( \frac{1}{x {}^{2} } \right) \leqslant 1$

Agora devemos deixar a expressão igual a do limite. Primeiramente vamos multiplicar toda a expressão por x⁸:

$\left( - 1 \leqslant \cos \left( \frac{1}{x {}^{2} } \right) \leqslant 1 \right).(x {}^{8} ) \\ \\ - x {}^{8} \leqslant x {}^{8} \cos \left( \frac{1}{x {}^{2} } \right) \leqslant x {}^{8}$

Agora devemos aplicar o limite em todos os termos, igualmente está no enunciado:

$\lim_{x\to0} - x {}^{8} \leqslant \lim_{x\to0}x {}^{8} \cos \left( \frac{1}{x {}^{2} } \right) \leqslant \lim_{x\to0}x {}^{8} \\ \\ - 0 {}^{8} \leqslant \lim_{x\to0}x {}^{8} \cos \left( \frac{1}{x {}^{2} } \right) \leqslant 0 {}^{8} \\ \\ 0 \leqslant \lim_{x\to0}x {}^{8} \cos \left( \frac{1}{x {}^{2} } \right) \leqslant 0$

Como a função está entre "0", implica dizer que ela só pode assumir o valor "0", portanto esse é o valor do limite:

$\boxed{ \boxed{\lim_{x\to0}x {}^{8} \cos \left( \frac{1}{x {}^{2} } \right) = 0}}$

Espero ter ajudado