Question

me ajudem a resolver essa questão por favor:
dada a equação 31x² +10 + √3 xy + 21x² = 144 Remova o termo xy por uma rotação de eixos.
desde já agradeço

Answer 1

Equação geral de uma cônica :

$\text{Ax}^2+\text{Bxy}+\text{Cy}^2+\text{Dx}+\text{Ey}+\text F = 0$

Centro : Derivada parcial da equação.

$\displaystyle (\text x_o,\text y_o) \to \left \{ {{\displaystyle \frac{\partial}{\partial \text x}(\text{Ax}^2+\text{Bxy}+\text{Cy}^2+\text{Dx}+\text{Ey}+\text F)=0} \atop {\displaystyle \frac{\partial}{\partial \text y}(\text{Ax}^2+\text{Bxy}+\text{Cy}^2+\text{Dx}+\text{Ey}+\text F)=0}} \right.$

Identificação da Cônica :

$\Delta_{\text{conica}} = \text B^2-4.\text{A.C} \\\\ \underline{\text{casos}}: \\\\\ \Delta_{\text{conica}} = 0 \to \text{(PARABOLA)}\\\\ \Delta_{\text{conica}} > 0 \to \text{(HIPERBOLE)} \\\\ \Delta_{\text{conica}} < 0 \to \text{(ELIPSE)}$  

Ângulo de rotação da cônica :

$\displaystyle \text{Tg}(2\theta) = \frac{\text B}{\text A-\text C}$

$\displaystyle \theta = \frac{1}{2}\ .\ \text{ArcTg}(\frac{\text B}{\text A-\text C})$

Translação da cônica :

$\displaystyle \text x = \text x' + \text x_o\\\\ \text{y}=\text y' +\text y_o$

Após substituirmos isso na cônica, teremos uma equação do tipo :

$\text{A'.x'}^2+\text{B'.x'.y'}+\text{C'.y'}^2+\text {F'} =0$

Sendo :

$\text{F'} = \text{A.x}_o^2+\text{B}\text x_o.\text y_o + \text{C.y}_o^2+\text{Dx}_o+\text{Ey}_o$

Rotação de eixos para sumir com o termo (xy) :

novas coordenadas :

$\displaystyle \text x = \text{x'cos}(\theta)-\text{y'sen}(\theta) \\\\ \text y = \text{x'sen}(\theta)+\text{y'cos}(\theta)$

Quando substituirmos na equação da cônica chegaremos numa nova equação do tipo :

$\text{A''x''}^2+\text{C''y''}^2+\text {F'} = 0$

Temos a seguinte propriedade :

$\text{A'' + \text C''} = \text{A' + C' } \to \underline{\text{soma permanece constante}}$

$\text{B''}^2-4\text{A''.C''} = \text{ B'}^2-4.\text{A'.C'} \to \underline{\text{permanece constante}}$

Temos a seguinte equação de cônica  :

$31\text x^2+10\sqrt{3}\text{xy}+21\text y^2=144$

coeficientes :

A = 3 , B = 10√3, C = 21, D = E = 0, F = -144

Note que não temos fatores em x e em y, isso significa que não vamos precisar transladar o eixo pois já está no origem.

Então no caso essa já é a nossa expressão após translação.

Ao substituir as coordenadas para rotação de eixos, teremos uma expressão do tipo:

$\text{A'x'}^2+\text{C'y'}^2+\text {F'} = 0$

Aplicando as propriedades acima :

$\displaystyle \text{A' + C'} = \text{A + C } \\\\ \text{B'}^2-4\text{A'.C'} = \text B^2-4\text{A.C} \\\\\ \underline{\text{ou seja}}: \\\\\ \text {A' + C' } = 31+21 \to \text{A' + C' }=52 \to \text {C'}=52-\text{A'} \\\\ 0-4\text{A'.C'}=(10\sqrt{3})^2-4.{31.21} \\\\\ -4\text{A'}(52-\text {A'})=300-2604 \\\\ 52\text {A' }-\text{A'}^2 = \frac{-2304}{-4} \\\\\ \text{A'}^2 -52\text{A'} + 576 =0 \\\\ \text{A'}^2-52\text{A'}+676=100 \\\\ (\text{A'}-26)^2=100 \\\\ \text{A'}-26 = \pm10 \\\\ \boxed{\text {A'}=36}$

$\boxed{\text{C'} = 16}$

Então nossa nova expressão é :

$\displaystyle 36\text {x'}^2 + 16\text{y'}^2-144=0 \\\\ 36\text {x'}^2 + 16\text{y'}^2 = 144 \\\\\\ \frac{36\text{x'}^2}{144}+\frac{16\text{y'}^2}{144} = 1 \\\\\\\ \frac{\text{x'}^2}{\displaystyle (\frac{12}{6})^2}+\frac{\text{y'}^2}{\displaystyle (\frac{12}{4})^2}=1 \\\\\\ \huge\boxed{\frac{\text {x'}^2}{4}+\frac{\text {y'}^2}{9}=1}\checkmark$