Question

ME AJUDEM A RESOLVER ESSA QUESTAO DE INTEGRAL DUPLA

Answer 1

✅ No problema A), o trabalho realizado pelo campo de forças sobre a curva é τ = 0 Nm. No problema B) a integral de linha sobre a curva dada resulta em I = 448/3

☁️ Integral de linha de campo vetorial: Seja $\rm \vec{F}\!:\mathbb{D}\subset\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ ou tex] \rm \vec{F}\!:\mathbb{D}\subset\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^3 [/tex] um campo de vetores interpretado como um campo de forças variáveis. Seja, ainda, $\rm \gamma = \gamma(t)$ uma curva simples, regular por partes [ vetor tangente contínuo ] com $\rm a \leqslant t \leqslant b$. Então, a integral de linha sobre a trajetória $\gamma$, interpretado como trabalho, é

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\qquad\displaystyle\rm \int\limits_{\gamma} \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int\limits_{a}^{b}\left\langle \vec{F}(\gamma(t));\dot{\gamma}(t)\right\rangle dt \qquad}}}$

 

ℹ️ A construção intuitiva desse resultado é bem simples. ( Obs.: Método das diferenças finitas de Lagrange e produto escalar com versores )

✍️ Solução: Aplicando a definição de integral de linha e observando as parametrizações das curvas, obteremos.

❐ Questão 01:

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm \int\limits_{\gamma}\left\langle F(\gamma(t));\dot{\gamma}(t)\right\rangle dt &=\displaystyle\rm \int\limits_{0}^{\pi} \left\langle (\sin^3(t), 2\sin(t)\cos(t));(\cos(t), -\sin(t))\right\rangle dt \\\\&=\displaystyle\rm \int\limits_{0}^{\pi} \left( \sin^3(t)\cos(t)-2\sin^2(t)\cos(t) \right)dt \\\\&=\rm \left.\dfrac{\sin^4(t)}{4}\right|_{0}^{\pi} \left. -\,\dfrac{2\sin^3(t)}{3}\right|_{0}^{\pi} \\\\&=\rm 0\end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm\therefore\: \tau= \int\limits_{\gamma} \left\langle F(\gamma(t));\dot{\gamma}(t)\right\rangle dt = 0\,Nm }}}} \\\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare \end{array}$

 

❐ Questão 02:

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm \int\limits_{\gamma}\left\langle F(\gamma(t));\dot{\gamma}(t)\right\rangle dt &=\displaystyle\rm \int\limits_{0}^{2} \left\langle (t^5,-4t^3,4t^4);(3t^2,2,2t)\right\rangle dt \\\\&=\displaystyle\rm \int\limits_{0}^{2}\left( 3t^7 -8t^3 +8t^5 \right)dt \\\\&=\rm \left.\dfrac{3t^8}{8}\right|_{0}^{2} -\,2t^4\bigg|_{0}^{2}\left. +\,\dfrac{4t^6}{3}\right|_{0}^{2} \\\\&=\rm \dfrac{3\cdot 2^8}{8}-2\cdot 2^4+\dfrac{4\cdot 2^6}{3}\\\\&=\rm 96-32+\dfrac{256}{3}\end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm\therefore\: \int\limits_{\gamma} \left\langle F(\gamma(t));\dot{\gamma}(t)\right\rangle dt = \dfrac{448}{3} }}}} \\\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\!\blacksquare \end{array}$

 

✔️ Resolvido!

 

⚓️️️️ Seção de links para complementar o estudo sobre cálculo vetorial, análise real:

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$