Question

Me ajudem a resolver a integral por substituição trigonometrica da imagem anexada

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas proprieades estudadas sobre cálculo integral.

Devemos resolver a seguinte integral, utilizando a técnica de substituição trigonométrica:

$\displaystyle{\int\dfrac{\sec(x)\cdot\tan(x)}{\sqrt{1-\sec^2(x)}}\,dx}$

Faça a substituição $\sec(x)=\sin(y)$. Diferencie ambos os lados da igualdade de modo a encontrarmos o diferencial $dy$:

$(\sec(x))'=(\sin(y))'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada da função secante é $(\sec(x))'=\sec(x)\cdot\tan(x)$.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma função $y=y(x)$ é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia: $(f(y))'=f'(y)\cdot \dfrac{dy}{dx}$.
• A derivada da função seno é igual a função cosseno.

Calcule as derivadas

$\sec(x)\cdot\tan(x)=\cos(y)\cdot\dfrac{dy}{dx}$

Multiplique ambos os lados da igualdade pelo diferencial $dx$

$\sec(x)\cdot\tan(x)\,dx=\cos(y)\,dy$

Utilizando a identidade trigonométrica fundamental: $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$, fazemos $\cos(y)=\sqrt{1-\sin^2(y)}$.

$\sec(x)\cdot\tan(x)\,dx=\sqrt{1-\sin^2(y)}\,dy$

Substituindo estes elementos na integral, teremos:

$\displaystyle{\int \dfrac{\sqrt{1-\sin^2(y)}}{\sqrt{1-\sin^2(y)}}}\,dy}$

Simplifique a fração

$\displaystyle{\int 1\,dy}$

Calcule a integral aplicando a regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$, sabendo que $\displaystyle{\int1\,dy=\int y^0\,dy}$.

$\dfrac{y^{0+1}}{0+1}+C$

Some os valores no expoente e denominador

$y+C$

Desfaça a substituição, calculando a função arcoseno em ambos os lados da igualdade na substituição inicial: $\arcsin(\sin(y))=\arcsin(\sec(x))\Rightarrow y=\arcsin(\sec(x))$.

$\arcsin(\sec(x))+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.