Question

me ajudem!!
1) Mostre que | senx - seny| ≤  | x -y | para quaisquer x,y ∈ aos números reais?

Answer 1

$|sen \ x - sen \ y| < |x - y|$

Primeiro, precisamos usar a seguinte relação:

$sen \ x - sen \ y = 2sen \ \frac{x-y}{2} cos \ \frac{x+y}{2}$

Mas sabemos que

$|sen \ \frac{x-y}{2}| (I) < |\frac{x-y}{2}|$

E também

$|cos \frac{x+y}{2}| (II) \leq 1$

Logo, o produto entre (I) e (II), que é exatamente o mesmo que $|sen \ x - sen \ y|$, nunca será maior que $|\frac{x-y}{2}|$, e logo, consequentemente, sempre menor que $|x - y|$