Question

ME AJUDEM!!!!!!

1) Determine o valor de X para que a expressão se torne verdadeira:
$2 \times 2 ^{x} = \sqrt[6]{8} \times \sqrt[4]{2} \times \sqrt[6]{2}$
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Answer 1

Perceba que:

$2 \cdot 2^x = 2^{x+1}$

e usando a seguinte propriedade matemática:

$k^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{a}$

E dado que 8 é o mesmo que dois ao cubo:

$2^{x+1} = 2^{\frac{3}{6}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{6}}$

Utilizando a seguinte propriedade:

$a^{b} \cdot a^{c} = a^{b+c}$

Reescrevemos assim:

$2^{x+1} = 2^{\frac{3}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}}$

Agora como as bases são iguais em ambos os lados da equação, para que a equação seja válida, basta que os expoentes sejam iguais. Isto é:

$x+1 = \dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}$

Então, como 12 é múltiplo comum aos três denominadores, reescrevemos com denominador comum:

$x+1 = \dfrac{2 \cdot 3 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1}{12}$

$x+1 = \dfrac{6 + 3 + 2}{12}$

$x+1 = \dfrac{11}{12}$

Passando o 1 subtraindo para o lado esquerdo da equação:

$x = \dfrac{11}{12} - 1$

Como 1 é o mesmo que 12/12:

$x = \dfrac{11}{12} - \dfrac{12}{12}$

Finalmente:

$\boxed{x = - \dfrac{1}{12}}$