Question

ME AJUDEEEM

(1+√3) elevado a 2 - (1-√3) elevado a 2

Answer 1

Existe um produto notável chamado produto da soma pela diferença de dois termos. Ou seja, dados dois números reais $a$ e $b$, então

$\boxed{\boxed{(a+b)\cdot(a-b)=a^{2}-b^{2}}}$
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$(1+\sqrt{3})^{2}-(1-\sqrt{3})^{2}$

Se chamarmos $1+\sqrt{3}=a$ e $1-\sqrt{3}=b$, temos justamente o resultado do produto da soma pela diferença de dois termos. Então:

$(1+\sqrt{3})^{2}-(1-\sqrt{3})^{2}=a^{2}-b^{2}\\\\(1+\sqrt{3})^{2}-(1-\sqrt{3})^{2}=(a+b)(a-b)$

Voltando para $a=1+\sqrt{3}$ e $b=1-\sqrt{3}$:

$(1+\sqrt{3})^{2}-(1-\sqrt{3})^{2}=\big([1+\sqrt{3}]+[1-\sqrt{3}]\big)\cdot\big([1+\sqrt{3}]-[1-\sqrt{3}]\big)\\\\(1+\sqrt{3})^{2}-(1-\sqrt{3})^{2}=\big(1+\sqrt{3}+1-\sqrt{3})\cdot\big(1+\sqrt{3}-1+\sqrt{3}\big)\\\\(1+\sqrt{3})^{2}-(1-\sqrt{3})^{2}=(2+0)\cdot(0+2\sqrt{3})\\\\(1+\sqrt{3})^{2}-(1-\sqrt{3})^{2}=2\cdot2\sqrt{3}\\\\\boxed{\boxed{(1+\sqrt{3})^{2}-(1-\sqrt{3})^{2}=4\sqrt{3}}}$