Question

Me ajudeeeem a resolver esse sistema aplicando a regra de Cramer...

-2x + 4y - 2z =2
3x - 5y + z = -7
2x - 5z = -16

Answer 1

Ae mano,

para resolvermos o sistema $\begin{cases}\mathsf{-2x+4y-2z=2}\\ \mathsf{3x-5y+z=-7}\\ \mathsf{2x-5z=-16}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\mathsf{-2x+4y-2z=2}\\ \mathsf{3x-5y+z=-7}\\ \mathsf{2x+0y-5z=-16}\end{cases}$

vamos seguir 6 passos,

1°, acharmos o determinante principal, use então os coeficientes das variáveis à esquerda do sinal da igualdade, em forma de matriz e aplicando a regra de Sarruz:

$\mathsf{\Delta=} \left|\begin{array}{ccc}\mathsf{-2}&\mathsf{4}&\mathsf{-2}\\\mathsf{3}&\mathsf{-5}&\mathsf{1}\\\mathsf{2}&\mathsf{0}&\mathsf{-5}\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}\mathsf{-2}&\mathsf{4}\\\mathsf{3}&\mathsf{-5}\\\mathsf{2}&\mathsf{0}\end{array}\right \\\\\\ \mathsf{\Delta=-50+8+0-20+0+60\Rightarrow \Delta=-2}$


2°, achar o det de x, use os termos independentes à direita do sinal de igualdade ao invés das variáveis x:

$\mathsf{\Delta_x=} \left|\begin{array}{ccc}\mathsf{2}&\mathsf{4}&\mathsf{-2}\\\mathsf{-7}&\mathsf{-5}&\mathsf{1}\\\mathsf{-16}&\mathsf{0}&\mathsf{-5}\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}\mathsf{2}&\mathsf{4}\\\mathsf{-7}&\mathsf{-5}\\\mathsf{-16}&\mathsf{0}\end{array}\right\\\\\\ \mathsf{\Delta_x=50-64+0+160-0-140\Rightarrow\Delta_x=6}$


3° achar o det de y, use então os termos independentes, ao invés das varáveis y:

$\mathsf{\Delta_y=} \left|\begin{array}{ccc}\mathsf{-2}&\mathsf{2}&\mathsf{-2}\\\mathsf{3}&\mathsf{-7}&\mathsf{1}\\\mathsf{2}&\mathsf{-16}&\mathsf{-5}\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}\mathsf{-2}&\mathsf{2}\\\mathsf{3}&\mathsf{-7}\\\mathsf{2}&\mathsf{-16}\end{array}\right\\\\\\ \mathsf{\Delta_y=-70+4+96-28-32+30\Rightarrow \Delta_y=0}$


4°, faça o mesmo com o det de z, use os termos independentes, ao invés dos coeficientes das variáveis z:

$\mathsf{\Delta_z=} \left|\begin{array}{ccc}\mathsf{-2}&\mathsf{4}&\mathsf{2}\\\mathsf{3}&\mathsf{-5}&\mathsf{-7}\\\mathsf{2}&\mathsf{0}&\mathsf{-16}\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}\mathsf{-2}&\mathsf{4}\\\mathsf{3}&\mathsf{-5}\\\mathsf{2}&\mathsf{0}\end{array}\right\\\\\\ \mathsf{\Delta_z=-160-56+0+20-0+192\Rightarrow \Delta_z=-4}$


5°, acharmos o valor das variáveis, (x, y e z), como fazemos isso?!, dividimos o determinante de cada variável, pelo determinante principal:

$\mathsf{x= \dfrac{\Delta_x}{\Delta}= \dfrac{~~6}{-2} =-3 }\\\\\\ \mathsf{y= \dfrac{\Delta_y}{\Delta}= \dfrac{~~0}{-2}=0 }\\\\\\ \mathsf{z= \dfrac{\Delta_z}{\Delta}= \dfrac{-4}{-2}=2 }$


6°, escrevermos a terna que satisfaz o sistema linear:

$\Large\boxed{\mathsf{S=\{(-3,0,2)\}}}$

Aeee, tenha ótimos estudos mano!