Question

Mostre por indução:
1^3+2^3+...+n^3=(1+2+...n)^2

Answer 1

Mostrar por indução

$1^{3}+2^{3}+\ldots+n^{3}=(1+2+\ldots+n)^{2}$


$\bullet\;\;$ Sabemos que

$1+2+\ldots+n=\dfrac{n\,(n+1)}{2}$

(Esta é a fórmula da soma dos termos de uma P.A., mas pode-se provar por indução também)


Então, queremos provar que

$1^{3}+2^{3}+\ldots+n^{3}=\left[\dfrac{n\,(n+1)}{2} \right ]^{2}$


$\bullet\;\;$ Caso base. Para $n=1,$ temos que

$1^{3}=\left[\dfrac{1\,(1+1)}{2} \right ]^{2}\;\;\;(\text{verdadeiro})$


$\bullet\;\;$ Suponhamos, por hipótese de indução, que

a identidade é válida para $n=k-1:$

$1^{3}+2^{3}+\ldots+(k-1)^{3}=\left[\dfrac{(k-1)\,k}{2} \right ]^{2}\;\;\;\;(\text{hip\'{o}tese de indu\c{c}\~{a}o})$


$\bullet\;\;$ Sendo assim, utilizando a hipótese de indução para $n=k,$ temos

$1^{3}+2^{3}+\ldots+(k-1)^{3}+k^{3}\\ \\ =[1^{3}+2^{3}+\ldots+(k-1)^{3}]+k^{3}\\ \\ =\left[ \dfrac{(k-1)\,k}{2} \right ]^{2}+k^{3}\\ \\ \\ =\dfrac{(k-1)^{2}\,k^{2}}{4}+k^{3}\\ \\ \\ =\dfrac{(k-1)^{2}\,k^{2}+4k^{3}}{4}\\ \\ \\ =\dfrac{(k-1)^{2}\,k^{2}+4k\cdot k^{2}}{4}$


Colocando o fator $k^{2}$ em evidência no numerador, temos

$=\dfrac{\left[(k-1)^{2}+4k \right ]\,k^{2}}{4}\\ \\ \\ =\dfrac{\left[k^{2}-2k+1+4k \right ]\,k^{2}}{4}\\ \\ \\ =\dfrac{\left[k^{2}+2k+1 \right ]\,k^{2}}{4}\\ \\ \\ =\dfrac{(k+1)^{2}\,k^{2}}{4}\\ \\ \\ =\left[\dfrac{k\,(k+1)}{2} \right ]^{2}\\ \\ \\ =(1+2+\ldots+k)^{2}$


como queríamos demonstrar.