Question

me ajudeeeeem rápido :
um número inteiro positivo n tem um total de 12 fatores primos distintos. O número de modos em que n pode ser fatorado como produto de dois números positivos e primos entre si é igual a:
a)1466 b) 1654 c) 1882 d) 1964 c) 2048

Answer 1

Olá :)

Sabemos que todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto em um produto de dois ou mais fatores, sendo eles primos ou não.

O enunciado nos informa que o número n foi decomposto em 12 fatores primos distintos.

Como já foi dito, n pode ser produto de dois ou mais fatores, porém o enunciado informa que ele é resultado do produto de dois números primos. Então, o enunciado questiona de quantas maneiras podemos multiplicar dois números desses 12 fatores e assim obter o valor n.

Vamos tentar entender isso com um exemplo:

A decomposição de 24 em um produto de fatores primos é 2 x 2 x 2 x 3. Fazendo como o enunciado pede, ao escolher um desses fatores, como por exemplo o 2, temos que multiplicar 2 por algum número para dar 24. Esse número será a multiplicação de todos os fatores restantes: 2x2x3 = 12.

E então 2x12 = 24.

Percebeu como funciona? Se escolhermos um dos 12 fatores, o outro automaticamente já será determinado como a multiplicação dos outros 11 não escolhidos.

Podemos escolher o primeiro fator também como a multiplicação de dois desses números, seguindo o exemplo: 2x2 = 4. O outro será a multiplicação dos restantes, 2x3 = 6. Multiplicando os dois números: 4x6 = 24.

E assim por diante...

Entao os modos de como o primeiro fator podem escolhidos são:

1. Nenhum dos 12 valores [o produto será o proprio n x 1]
2. Apenas 1 dos 12 fatores
3. O produto de dois dos 12 fatores do número original [como fizemos no exemplo acima]
4. O produto de tres fatores dos 12 fatores.
5. O produto de quatro fatores dos 12.
6. O produto de 5 fatores dos 12
7. O produto de 6 fatores dos 12.

ATENÇÃO: Agora, se continuarmos, teremos os mesmos resultados obtidos anteriormente, pois teríamos o produto de 7 fatores, restando 5 outros fatores para serem multiplicados para gerar o outro número. Isso já temos e o resultado já foi descrito na opção 6.

Continuando, cada um desses tópicos gera uma combinação.

O tópico 1 gera uma combinação de 12 fatores para serem combinados em um grupo de 0, o tópico 2 gera uma combinação de 12 fatores para serem combinados em grupos com 2 fatores... E assim por diante.

Temos: $C^{12}_0 + C^{12}_1 + C^{12}_2 + C^{12}_3 + C^{12}_4 + C^{12}_5 + \frac{C^{12}_6}{2}$

[A ultima combinação é dividida por 2 pelo motivo que explicamos acima, na parte escrita como atenção]

Sendo a fórmula da combinação: $C^n_p = \frac{n!}{p!.(n-p)!}$

Teremos como resultado: $C^{12}_0 + C^{12}_1 + C^{12}_2 + C^{12}_3 + C^{12}_4 + C^{12}_5 + \frac{C^{12}_6}{2} = 2048$

RESPOSTA: 2048