Question

matéria de equações logarítmicas, ajudem por favor

Answer 1

$log_{2} (x+3) + log_{2}(x - 4) = 3$

Antes de tudo, temos que verificar a condição de existência do logaritmo.

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DO LOGARITMO

Tem três coisas:

1. logaritmando>0
2. base>0
3. base≠1

Construir as equações.

$x+3>0$

Passar o 3 pro outro lado.

$\boxed{x > -3}$

$x-4 > 0$

Passar o -4 pro outro lado.

$\boxed{x>4}$

Se x>4, então automaticamente, para qualquer valor de x que atende a isso, x>-3.

Agora, vamos resolver.

RESOLVENDO O NEGÓCIO

Usaremos a propriedade dos logs, onde:

$log(x) + log(y) = log(x \times y)$

E substituiremos o 3 por log(2)8, pois 2 elevado a 3 dá 8.

$log_2{(x+3) (x-4)} = log_2{8}$

Podemos cortar os logs, por possuírem bases iguais.

$(x+3) \times (x-4) = 8$

"Consertar" os parênteses

$x^2 - 4x + 3x -12 = 8$

Somar as incógnitas.

$x^2 -x - 12 = 8$

Passar o 8 pro outro lado, com outro sinal. Igualar a zero.

$x^2 - x - 12 - 8 = 0$

Subtrair.

$x^2 - x - 20 = 0$

Resolver a equação quadrática.

DELTA

Usaremos a fórmula do delta:

$\boxed{\Delta = b^2 - 4ac}$

Substituir na fórmula:

$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-20)$

Elevar ao quadrado.

$\Delta = 1 - 4 \times 1 \times (-20)$

Multiplicar tudo.

$\Delta = 1 + 80$

Somar.

$\boxed{\Delta = 81}$

ACHANDO AS RAÍZES

Fórmula:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

Substituir na fórmula:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{81}}{2 \times 1}$

Distribuir o sinal dos parênteses, tirar a raiz e multiplicar:

$x = \frac{1\pm 9}{2}$

PRIMEIRA SOLUÇÃO

Usaremos a adição.

$x_1 = \frac{1 + 9}{2}$

Somar.

$x_1 = \frac{10}{2}$

Dividir.

$\boxed{x_1 = 5}$

SEGUNDA SOLUÇÃO

Usaremos a subtração.

$x_2 = \frac{1 - 9}{2}$

Somar.

$x_2 = \frac{-8}{2}$

Dividir.

$\boxed{x_2 = -4}$

VERIFICANDO NA CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

A condição de existência do logaritmo, que nós vimos lá no comecinho, diz que x deve ser maior que 4. Verificaremos isso com cada uma das raízes que obtivemos ao calcular a equação quadrática.

5 > 4 (verdadeiro)

-4 > 4 (falso)

Como apenas o valor de x=5 atendeu à condição de existência, então essa é a solução da equação.

S={5}