Question

Matemática para Engenharia

Answer 1

Para montar essa integral dupla vamos usar o método da região do tipo 1, nesse estilo a integral terá a estrutura mostrada abaixo:

$\sf \int\limits_{a}^{b}\int\limits_{c}^{d}dydx$

Ou seja, primeiro vem o dy e depois o dx. Os limites de "x" a própria questão nos diz, que são 0 e π, já os limites de "y" temos que fazer um corte de baixo para cima paralelo ao eixo "y", fazendo isso você observará que a reta tocará primeiro a função y = 0 e depois a função y = sen(x). Tendo essas informações as intgais são:

$\sf \int\limits_{0}^{ \pi}\int\limits_{0}^{sen(x)}dydx$

Agora é só resolver normalmente sempre começando por "y", de acordo com esse tipo que escolhemos. Aplicando o Teorema Fundamental:

$\sf \int\limits_{0}^{\pi}y \bigg| _{0}^{sen(x)} dx\Longrightarrow \int\limits_{0}^{\pi} \sf (sen(x) - 0)dx \\ \\ \sf \int\limits_{0}^{\pi}sen(x)dx = \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf- cos(x)\bigg| _{0}^{\pi}}}}$

Aplicando Teorema fundamental mais uma vez, só que dessa vez na outra integral:

$\sf - cos(\pi ) -( - cos(0))\Longrightarrow - ( - 1) + 1 \\ \\ \sf 1 + 1 = \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf2 \: u.a}}}}}$

Espero ter ajudado