Question

Matemática: Números Complexos

1 - Resolver as equações em c

a) x2 + 100 = 0

b) x2- 6x + 10 = 0

c) (x2 + 9) (X2- 1) = 0

d) x3 -14 x2 + 58x = 0

2 - Efetue:

a) (- 7 + 5 i) - ( 3 - 21)

b) 2 + (3 - 1) + ( -1 + 2 i) +i

c) ( - 4 + 3 i ) + 2 i - ( - 3 - 1 )

d) - 1 - ( -2 + i ) + ( 5 - i ) - ( 3 - 7 i )

Answer 1

a)

$\mathsf{x^2+100 = 0}\\ \\ \mathsf{x^2=-100}\\ \\ \mathsf{x=\pm\sqrt{-100}}\\ \\ \boxed{\mathsf{i^2=-1}}\\ \\ \mathsf{x=\pm\sqrt{10^2\cdot i^2}}\\ \\ \boxed{\mathsf{x=\pm10~i}}$

b) 

$\mathsf{x^2-6x+10=0}\\ \\ \mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\ \\ \mathsf{\Delta=(-6)^2-4\cdot1\cdot10}\\ \\ \mathsf{\Delta=36-40}\\ \\ \\ \boxed{\mathsf{\Delta=-4}}\\ \\ \\ \mathsf{i^2=-1\rightarrow\ \sqrt{\Delta}=2i}\\ \\ \mathsf{x'=\frac{6+2i}{2} = 3+i}\\ \\ \mathsf{x''=\frac{6-2i}{2}=3-i}$

c) 

$\mathsf{(x^2+9)\cdot (x^2-1)=0}\\ \\ \mathsf{x^2+9=0\rightarrow~x=\pm3i}\\ \\ \mathsf{x^2-1=0\rightarrow x=\pm1}$

d) 

$\mathsf{x^3-14x^2+58x=0}\\ \\ \mathsf{x\cdot(x^2-14x+58)=0}\\ \\ \mathsf{x=0}\\ \\ \mathsf{x^2-14x+58=0}\\ \\ \mathsf{\Delta=196-232 = -36\rightarrow \sqrt{\Delta}=6i}\\ \\ \mathsf{x'=\frac{14+6i}{2}=7+3i}\\ \\ \mathsf{x''=\frac{14-6i}{2}=7-3i}$

2) a)

$\mathsf{(- 7 + 5 i) - ( 3 - 2i)}\\ \\ \mathsf{-7+5i-3+2i}\\ \\ \boxed{\mathsf{-10+7i}}$

b) 

$\mathsf{2 + (3 - i) + ( -1 + 2 i) +i}\\ \\ \mathsf{2+3-i-1-2i+i}\\ \\ \boxed{\mathsf{4-2i}}$


c)

$\mathsf{( - 4 + 3 i ) + 2 i - ( - 3 - i )}\\ \\ \mathsf{-4+3+3i+2i+i}\\ \\ \boxed{\mathsf{-1+6i}}$

d)

$\mathsf{- 1 - ( -2 + i ) + ( 5 - i ) - ( 3 - 7 i )}\\ \\ \mathsf{-1+2-i+5-i-3+7i}\\ \\ \boxed{\mathsf{3+5i}}$

Answer 2

Matemática: Números Complexos

PARA todos  (i² = - 1)  ou ( - 1 = i²)


1 - Resolver as equações em c

a) x2 + 100 = 0

x² + 100 = 0
x² = - 100
x = + - √- 100              ( √100(-1) = √100i² ) e (√100 = √10x10 = √10²)  
x = +- √10²i²   ( elimina a√(raiz quadrada) com o (²)) fica 
x = + - 10i

assim
x' = - 10i
x" = + 10i




b) x2- 6x + 10 = 0

x² - 6x + 10 = 0
a = 1
b = - 6
c = 10
Δ = b² - 4ac
Δ = (-6)² - 4(1)(10)
Δ = + 36 - 40 
Δ = - 4  
√Δ= √-4 = √4(-1) = √4i²    ( √4 =√ 2x2 =√ 2² )
√Δ = √2²i²   ( elimina √(raiz quadrada) com o (²))
√Δ = 2i

se Δ< 0 ( DUAS raizes diferentes)
(baskara)
        - b + - √Δ
x = ---------------
            2a

        -(-6) - 2i              + 6 - 2i        (6 - 2i) : 2      3 - i
x' = ---------------- = ----------------- =--------------= --------- = 3 - i
            2(1)                     2               2 : 2             1

        -(-6) + 2i          + 6 + 2i        (6 + 2i):2      3 + i
x" = -------------- = --------------- = -------------- = ------------ =  3 + i
             2(1)                   2               2 : 2            1

assim
x' = 3 - i
x" = 3 + i

c) (x2 + 9) (X2- 1) = 0

  (x² + 9)(x² - 1) = 0
  x⁴ - 1x² + 9x² - 9 = 0
  x⁴ + 8x² - 9 = 0     equação BIQUADRADA ( 4 raizes)
                              substituir (x⁴ = y²)
                                              (x² = y)

x⁴ + 8x² - 9 = 0
y² + 8y - 9 = 0   equação do 2º grau
a = 1
b = 8
c = 9
Δ = b² - 4ac
Δ = (8)² - 4(1)(-9)
Δ = + 64 + 36
Δ = +100 ---------------------------> √Δ = 10   ( porque √100 = 10)
se
Δ > 0 ( DUAS raizes diferentes)
(baskara)
        - b + - √Δ
y = ------------------ 
            2a

y' = - 8 - √100/2(1)
y' = - 8 - 10/2
y' = - 18/2
y' = - 9
e
y" = - 8 + √100/2(1)
y" = - 8 + 10/2
y" = + 2/2
y" = 1

VOLTANDO na SUBSTIUIÇÃO
x² = y
y' = - 9
x² = - 9
x = + - √-9           (√9(-1) = √9i²      (√9 = √3x3 = √3²)
x = + - √3²i²  (  elimina √(raiz quadrada) com o (²))
x = + - 3i   ( duas raizes)
e
y" = 1
x² = y
x² = 1
x = + - √1              (√1 = 1)
x = + - 1  ( 2 raizes)

assim  as 4 RAIZES:
x' = - 3i
x" = + 3i
x'" = - 1
x"" = 1
 
  
d) x3 -14 x2 + 58x = 0

x³ - 14x² + 58x = 0   equação do 3º grau ( 3 RAIZES)

x(x² - 14x + 58) = 0

x = 0  ( uma RAIZ)

(x² - 14x + 58) =0
x² - 14x + 58 = 0
a = 1
b = - 14
c = 58 
Δ = b² - 4ac 
Δ = (-14)² - 4(1)(58)
Δ = + 196 - 232
Δ = - 36
√Δ = √-36     = √36(-1) = √36i²        (√36 = √6x6 = √6²)
√Δ = √6²i²   idem acima
√Δ = 6i

se
Δ < 0 ( DUAS riazes diferentes)
(baskara)
      - b + - √Δ
x = ---------------
           2a

       -(-14) - 6i         + 14 - 6i        (14 - 6i): 2      7 - 3i
x' = ---------------= --------------- = ---------------= =------------- 7 -  3i
            2(1)              2                    2 : 2               1

        -(-14)              + 14 + 6i      (14 + 6i): 2  
x" = ---------------- = ------------- = ---------------- = ------------ = 7 + 3i
            2(1)                   2                 2 : 2               1

assim as 3 RAIZES
x' = 0
x" = 7 - 3i
x"' = 7 + 3i

2 - Efetue:

a) (- 7 + 5 i) - ( 3 - 21)????????  acho que é (2i)

( - 7 + 5i) - (3 -  2i)  atenção no sinal
  - 7 + 5i - 3 + 2i
  (-7 - 3) + (5 + 2)i
       -10 + 7i


b)
 2 + (3 - 1) + ( -1 + 2 i) +i
 2 + (2)      + (-1 + 2i) + i
     2 + 2    + (-1 + 2i) + i
           4    + (-1 + 2i) + i
           4 - 1 + 2i + i
                 3 + 3i
 
  
c) ( - 4 + 3 i ) + 2 i - ( - 3 - 1 )
     
    - 4 + 3i  + 2i - (-4)
    - 4 + 3i + 2i   + 4
- 4 + 4 + (3 + 2)i
         0     + 5i  =  5i


d) - 1 - ( -2 + i ) + ( 5 - i ) - ( 3 - 7 i )
    - 1   + 2  - i       +5 - i     - 3 + 7i
   - 1 + 2 + 5 - 3 -i - i + 7i
        + 1  + 2        - 2i + 7i
                  3 + 5i