Question

Matemática!

Encontre o centro, os vértices e os focos da hipérbole ((y-3)²)/36-(x-2)^2/81=1. Além disso, encontre a excentricidade e faça um esboço do gráfico.

Answer 1

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⠀⠀⠀☞ Centro em (2, 3), vértices A em (2,9) e (2,-3) e B em (11,3) e (-7,3), focos aproximadamente em (2, 13.82) e (2, -7.82) e excentricidade de aproximadamente 1,8. Gráfico em anexo. ✅

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⠀⠀⠀⭐⠀Para realizar este exercício vamos utilizar a equação reduzida da hipérbole e suas relações.⠀⭐⠀

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                            $\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}\green{\star}&&\green{\star}\\&\!\!\orange{\bf \dfrac{(x - x_0)^2}{a^2} - \dfrac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1}\!\!&\\\green{\star}&&\green{\star}\\\end{array}}}}}$

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$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf a }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Semi-distância dos vértices A₁ e A₂ do eixo real (também chamado de eixo transverso) - lembrando que pela definição de hipérbole o módulo da diferença da distância de qualquer ponto da hipérbole até o foco 1 com a distância de deste mesmo ponto até o foco 2 sempre será igual ao dobro de a;

$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf b }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Semi-distância dos vértices imaginários B₁ e B₂ do eixo imaginário;

$\text{\Large\orange{ \diamond~~\bf (x_0, y_0) }~\pink{ \Longrightarrow }~}$ Coordenadas do centro O da hipérbole.

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• ✋ Observe que se (x-x₀)² estiver invertido com (y-y₀)² então o eixo de simetria desta hipérbole será horizontal ao invés de vertical.

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                 $\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\bezier(-3,5)(0,0)(-3,-5)\bezier(3,5)(0,0)(3,-5)\put(0,0){\circle*{0.13}}\put(-1.5,0){\circle*{0.13}}\put(1.53,0){\circle*{0.13}}\put(-2.53,0){\circle*{0.13}}\put(2.53,0){\circle*{0.13}}\put(0,2.3){\circle*{0.13}}\put(0,-2.3){\circle*{0.13}}\bezier{15}(0,2.3)(0.76,1.15)(1.53,0)\put(0.3,2.7){\LARGE \sf B_2 }\put(0.3,-3){\LARGE \sf B_1 }\put(-2.2,0.3){\LARGE \sf A_2 }\put(1.6,0.3){\LARGE \sf A_1 }\put(-3.2,0.3){\LARGE \sf F_1 }\put(2.7,0.3){\LARGE \sf F_2 }\put(-1.5,-0.1){\LARGE \underbrace{\qquad~\,} }\put(-0.95,-0.8){\LARGE \sf a }\put(0,-0.1){\LARGE \underbrace{\qquad\qquad\,} }\put(1.1,-0.8){\LARGE \sf c }\put(0.8,1.5){\LARGE \sf c }\put(-0.5,1.1){\Large \begin{cases}\\\\\\\end{cases} }\put(-0.8,1.1){\LARGE \sf b }\put(-5,-8){\dashbox{0.1}(10,2.5){\huge \sf D_{A_1A_2} = 2 \cdot a = |D_{F_1P} - D_{F_2P}| }}\put(-5,-11){\dashbox{0.1}(6,2.5){\huge \sf c^2 = a^2 + b^2 }}\put(2,-11){\dashbox{0.1}(3,2.5){\huge \sf e = \dfrac{c}{a} }}\end{picture}$

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                            $\Large\red{\boxed{\begin{array}{rcl}&\green{\underline{\footnotesize\sf Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly.}}&\\&\green{\footnotesize\sf \bullet~Experimente~compartilhar\rightarrow copiar~e~acessar}&\\&\green{\footnotesize\sf o~link~copiado~pelo~seu~navegador~ou~Browser.}&\\\end{array}}}$

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⠀⠀⠀➡️⠀Primeira conclusão: o eixo de simetria desta hipérbole é horizontal. Da equação dada extraímos que o seu centro está em (x₀, y₀) = (2, 3) e que suas semi-distâncias são:

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$\blue{\Large\begin{cases}\sf~a = \sqrt{36} = 6\\\\\sf~b = \sqrt{81} = 9\end{cases}}$⠀✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Desta forma temos que seus vértices A estão em (x₀, y₀ ± a) e seus vértices imaginários B estão em (x₀ ± b, y₀), ou seja:

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$\blue{\Large\begin{cases}\sf~A_1 = (2, 9)\\\\\sf~A_2 = (2, -3)\\\\\sf~B_1 = (11, 3)\\\\\sf~B_2 = (-7, 3)\end{cases}}$ ✅⠀

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⠀⠀⠀➡️⠀Temos também que sua semi-distância focal (c) vale:

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$\LARGE\blue{\sf c = \sqrt{6^2 + 9^2}}$

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$\LARGE\blue{\sf c = \sqrt{36 + 81}}$

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$\LARGE\blue{\sf c = \sqrt{117} \approx 10,82}$ ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Com isso sabemos que seus focos estão em (x₀, y₀ ± c), ou seja:

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$\blue{\Large\begin{cases}\sf~F_1 = (2, 13.82)\\\\\sf~F_2 = (2, -7.82)\end{cases}}$⠀✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Por fim, temos que sua excentricidade será de:

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$\LARGE\blue{\sf e = \dfrac{10,81}{6} \approx 1,8}$ ✅

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⠀⠀⠀➡️⠀Para construir um esboço de seu gráfico basta utilizar os pontos já descobertos e encontrar mais alguns pares (substituindo o valor de uma das variáveis e encontrando a outra).  ✅

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                             $\bf\large\red{\underline{\quad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

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