Question

Matemática Elementar - Circunferência

 

Seja ABC um triângulo equilátero de lado 1. Considere um círculo C'0 inscrito a ABC e, em seguida, construa um círculo C1 tangente a C'0, AB e BC e outro círculo C’1 também tangente a C'0, BC e AC. Continue construindo infinitos círculos C'n tangentes a C'n–1, AB e BC. Faça omesmo para os círculos C’n também tangentes a C’n–1, BC e AC. A seguir, a figura representa um exemplo com cinco círculos

 

A soma dos comprimentos de todos os infinitos círculos é:

Answer 1

StorClaudio, boa tarde.

 

O segmento que une $<var>C_0</var>$ ao ponto médio de BC é chamado de apótema e, num triângulo equilátero de lado $<var>l</var>$, é dado pela fórmula:

 

$<var>a=\frac{\sqrt3}6}l</var>$

 

Como, no triângulo do problema, $<var>l=1</var>$, temos que: $<var>a=\frac{\sqrt3}6}</var>$

 

Chamemos o segmento $<var>C_0C_1C_2...C_{\infty}</var>$ de $<var>R</var>$.

 

Então, por Pitágoras, temos:

 

$<var>R^2=a^2+(\frac12)^2 \Rightarrow R^2=\frac3{36}+\frac14=\frac{12}{36}=\frac13 \Rightarrow R=\frac{\sqrt3}3</var>$

 

Chamemos o raio do círculo $<var>C_n</var>$ de $<var>r_{C_n}</var>$.

 

Portanto, temos que:

 

$R=<var>r_{C_0}+\sum_{n=1}^{\infty}2r_{C_n}=r_{C_0}+2\sum_{n=1}^{\infty}r_{C_n}=\frac{\sqrt3}3</var>$

 

Como $<var>r_{C_0}=a=\frac{\sqrt3}{6} \Rightarrow 2\sum_{n=1}^{\infty}r_{C_n} = \frac{\sqrt3}3 - \frac{\sqrt3}6=\frac{\sqrt3}6</var>$ 

 

A soma dos comprimentos dos infinitos círculos é dada por:

 

$S=<var>\sum_{n=0}^{\infty}2\pi r_{C_n}=2\pi \sum_{n=0}^{\infty}r_{C_n} \Rightarrow \frac{S}{\pi}=2r_{C_0}+2\sum_{n=1}^{\infty}r_{C_n}=</var>$

 

$<var>=2\frac{\sqrt3}6+\frac{\sqrt3}6=3\frac{\sqrt3}6=\frac{\sqrt3}2 \Rightarrow</var>$

 

$<var>S=\frac{\sqrt3}2\pi</var>$