Question

Matemática Discreta - Encontre um número n, sabendo que os únicos fatores primos de n não 2 e 3, que n tem 30 divisores e que a soma dos divisores de n é 7623.

Answer 1

Temos que esse número então é escrito na forma:

n = 2^a . 3^b.

Temos pela fórmula da quantidade dos divisores de um número natural que:
(a + 1).(b + 1) = 30          chamemos (a + 1) de c e (b + 1) de d
c . d = 30

Agora vamos analisar, quais são os números naturais cujo produto é 30?
30 . 1
15 . 2        
10 . 3
 6 . 5

De cara podemos descartar que a chance de d = 10, 15 ou 30 e c = 15 ou 30, pois pra esses valores o número n ultrapassaria em muito o valor da soma dos divisores.
   
Temos 3 opções então:
c = 5  e d =6
c = 6 e d = 5
c = 10 e d = 3 

Vamos ver qual delas é a correta:
Pela fórmula da soma dos divisores de um número inteiro temos que:
S = [(2^(a + 1) - 1)/(2 - 1)] . [(3^(b + 1) - 1)/(3 - 1)]
7623 = [(2^c - 1)/1 ] . [(3^d - 1)/2]             multiplicando:
7623 = [2^c . 3^d - 2^c - 3^d + 1]/2

Passe o 2 dividindo pro outro lado multiplicando:

15246 = 2^c . 3^d - 2^c - 3^d + 1
15245 = 2^c . 3^d - 2^c - 3^d

Analisando nossas opções (dadas fatorando o número 30) os únicos valores de c que satisfazem são c = 6 e d = 5, logo:

a + 1 = c
a = c - 1
a = 6 - 1 = 5

b + 1 = d
b = d - 1
b = 5 - 1 = 4

n = 2^a . 3^b
n = 2^5 . 3^4
n = 32 . 81
n = 2592

Bons estudos