Question

Matematica Basica.
Boa noite Pessoal, alguem pode me ajudar com essa questão ?

Achar o valor de K na equação, de modo que uma raiz seja o quadruplo da outra.
$k x^{2} - (2k + 1)x + k = 0$

Answer 1

Olá Rafael.


Vamos usar as relações de Girard para resolver essa questão.

Sabendo que as soma das raízes e o produto de uma equação do segundo grau é dado por:


$\mathsf{ax^2+bx+c=0}~~~~onde~~~\mathsf{a\neq0}\\\\\\\mathsf{x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}}~~~~~e~~~~~~~\mathsf{x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}}$


Sabendo que uma das raízes é o quadruplo da outra, temos:


$\mathsf{x_1=4x_2}\\\\\\\mathsf{4x_2+x_2=\dfrac{2k+1}{k}~~~\Rightarrow~~5x_2=\dfrac{2k+1}{k}~~(i)}\\\\\\\mathsf{4x_2\cdot x_2=\dfrac{x}{x}~~~~\Rightarrow~~~~4x_2^2=1~~~\Rightarrow~~~x_2=\sqrt{\dfrac{1}{4}}~~\Rightarrow x_2=\dfrac{1}{2}}$


Substituindo $\mathsf{x_2}$ na primeira equação, temos:


$\mathsf{5\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{(2k+1)}{k}~~\Rightarrow~~5\cdot\dfrac{k}{2}=2k+1~\cdot(2)~~\Rightarrow~~5k=4k+2}\\\\=\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{k=2}}}$


Substituindo o k na equação para tirar a prova real:


$\mathsf{2x^2-(2\cdot2+1)k+2=0~~\Rightarrow~~2x^2-5x+2=0}\\\\\\\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\mathsf{\Delta=(-5)^2-4\cdot2\cdot2}\\\mathsf{\Delta=25-16}\\\mathsf{\Delta=9}\\\\\\\mathsf{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\\mathsf{x^+=\dfrac{-(-5)+\sqrt{9}}{2\cdot2}\qquad\qquad\qquad x^-=\dfrac{-(-5)-\sqrt{9}}{2\cdot2}}\\\\\\\mathsf{x^+=\dfrac{5+3}{4}\qquad\qquad\qquad \qquad~~~x^-=\dfrac{5-3}{4}}\\\\\\\mathsf{x^+=\dfrac{8}{4}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad ~~x^-=\dfrac{2}{4}}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{x^+=2}}}\qquad\qquad\qquad\qquad~~~\boxed{\boxed{\mathsf{x^-=\dfrac{1}{2}}}}}$



Dúvidas? comente.

Answer 2

Seja x' e x'' as raízes da equação kx² - (2k + 1)x + k = 0, com x' = 4x''.
n a equação kx² - (2k + 1)x + k = 0, temos:
a = k          b = - (2k + 1)          c = k

Sabemos que:
$x'+x''= -\frac{b}{a} \ \ \ \ e \ \ \ x'\cdot x''= \frac{c}{a}$
$x'\cdot x''= \frac{c}{a}\\ \\4x''\cdot x''= \frac{k}{k}\\ \\4(x'')^2= 1\\ \\(x'')^2= \frac{1}{4}\\ \\x''=\pm\sqrt{\frac{1}{4}}\\ \\x''=\pm\frac{1}{2}$
Como x'=4x'':
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$Se\ \ x''=-\frac{1}{2}\\ \\x'=4\cdot\Big( -\frac{1}{2} \Big)\\ \\x'= -\frac{4}{2}\\ \\x'=-2$
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$Se\ \ x''=\frac{1}{2}\\ \\x'=4\cdot\frac{1}{2}\\ \\x'= \frac{4}{2}\\ \\x'=2$

Determinando o valor de k:
$x'=-\frac{1}{2}\ \ e\ \ x''=-2\\ \\x'+x''=-\frac{b}{a}\\ \\-\frac{1}{2}+(-2)=-\frac{-(2k+1)}{k}\\ \\-\frac{1}{2}-2=\frac{2k+1}{k}\\ \\-\frac{1}{2}-\frac{4}{2}=\frac{2k+1}{k}\\ \\\frac{-1-4}{2}=\frac{2k+1}{k}\\ \\-\frac{5}{2}=\frac{2k+1}{k}\\ \\-5k=4k+2\\ \\-5k-4k=2\\ \\-9k=2\\ \\k=\frac{2}{-9}\\ \\k=-\frac{2}{9}$
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$x'=\frac{1}{2}\ \ e\ \ x''=2\\ \\x'+x''=-\frac{b}{a}\\ \\\frac{1}{2}+2=-\frac{-(2k+1)}{k}\\ \\\frac{1}{2}+2=\frac{2k+1}{k}\\ \\\frac{1}{2}+\frac{4}{2}=\frac{2k+1}{k}\\ \\\frac{-1-4}{2}=\frac{2k+1}{k}\\ \\\frac{5}{2}=\frac{2k+1}{k}\\ \\5k=4k+2\\ \\5k-4k=2\\ \\k=2$

poderemos ter k = 2/9 ou k = 2 veja anexo.