Question

MATEMÁTICA
11. Um polinômio P é dado pelo produto de 5 polinômios cujos graus
formam uma progressão geométrica. Se o polinômio de menor grau tem
grau igual a 2 e o grau de Pé 62, então o de maior grau tem grau igual a:
a) 30
b) 32
c) 34
d) 36​

Answer 1

Alternativa B: 32.

Uma vez que temos uma progressão geométrica, cada termo seguinte é multiplicado uma razão em relação ao termo anterior. Vamos considerar essa razão como X. Desse modo, os cinco primeiros termos são: 2, 2x, 2x², 2x³ e 2x⁴.

Agora, note que o expoente do produto de todos esses valores será o resultado do somatório desses termos. Desse modo, temos a seguinte expressão:

$2+2x+2x^2+2x^3+2x^4=62\\ \\ 2(1+x+x^2+x^3+x^4)=62\\ \\ x+x^2+x^3+x^4=31$

Note que temos um polinômio de quarto grau. Contudo, podemos facilmente perceber que a raiz deve ser um número pequeno e podemos testar alguns valores. Começando do número 1, temos:

$1+1+1^2+1^3+1^4=5\neq 31\\ \\ 2+2^2+2^3+2^4=31=31$

Com isso, podemos concluir que a raiz do polinômio é igual a 2. Por fim, o termo de maior grau será:

$2x^4=2\times 2^4=2\times 16=32$