Question

Marque a alternativa que indica a solução do problema de Valor inicial dydx=x3+x+1 , y(0) = 2.

Answer 1

Vamos separar as variáveis, acompanhe:

$\displaystyle \frac{dy}{dx} = x^{3}+x+1 \\ \\ \\ 1 \cdot dy = x^{3}+x+1 \, dx \\ \\ \\ \int 1 \cdot dy = \int x^{3}+x+1 \, dx \\ \\ \\ y+c'=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+x+c'' \\ \\ \\ y=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+x+c''-c'' \\ \\ \\ y=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+x+c$

Vamos descobrir o valor da constante c com a condição y(0) = 2, veja:

$\displaystyle \frac{1}{4} \cdot 0^{4}+\frac{1}{2} \cdot 0^{2}+0+c=2 \\ \\ \\ c=2$

Então, a função procurada é:

$\displaystyle \boxed{\boxed{y=\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+x+2}}$