Question

Marque a alternativa que indica a solução da eq. diferencial de variáveis separáveis xdy - (y + 1)dx = 0.

Answer 1

Vamos lá!

$\displaystyle x \, dy - (y+1) \, dx = 0 \\ \\ \\ x \, dy = (y+1) \, dx \\ \\ \\ \frac{dy}{(y+1)}=\frac{dx}{x} \\ \\ \\ \frac{1}{y+1} \, dy = \frac{1}{x} \, dx \\ \\ \\ \int \frac{1}{y+1} \, dy = \int \frac{1}{x} \, dx \\ \\ \\ \ln(y+1) + c' = \ln(x) + c'' \\ \\ \\ \ln(y+1) = \ln(x) + c'' - c' \\ \\ \\ \ln(y+1) = \ln(x) + c$

A tarefa agora é isolar o y. Para isso vamos aplicar uma propriedade de exponenciação, acompanhe:

$\displaystyle \ln(y+1) = \ln(x) + c \\ \\ \\ e^{\displaystyle \ln(y+1)} = e^{\displaystyle \ln(x)+c} \\ \\ \\ e^{\displaystyle \ln(y+1)} = e^{\displaystyle \ln(x)} \cdot e^{c} \\ \\ \\ y+1=x \cdot e^{c} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{y=xe^{c}-1}}$