Question

Marque a alternativa que apresenta a integral de linha da função f ( x , y , z ) = x + y 2 z 3 sobre a curva definida pela equação y ( t ) = ( t 2 , 4 t , 5 t ) com 0 ≤ t ≤ 2 .

Answer 1

Resposta:   A integral de linha é $\displaystyle\int_0^2 (t^2+2000t^5)\sqrt{4t^2+41}\,dt.$

Explicação passo a passo:

Calcular a integral de linha da função real de três variáveis

     $\begin{array}{ccll} f:&\mathbb{R}^3&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}\\ &(x,\,y,\,z)&\!\!\mapsto\!\!&f(x,\,y,\,z)=x+y^2z^3\end{array}$

sobre a curva $\gamma$ parametrizada conforme abaixo:

    $\begin{array}{ccll} \gamma:&[0,\,2]&\!\!\to\!\!&\mathbb{R}^3\\ &t&\!\!\mapsto\!\!&\gamma(t)=(t^2,\,4t,\,5t)\end{array}$

Calculando o módulo (ou norma) do vetor tangente à curva $\gamma:$

    $\Longrightarrow\quad \|\gamma'(t)\|=\left\|\frac{d}{dt}(t^2,\,4t,\,5t)\right\|\\\\ \Longleftrightarrow\quad \|\gamma'(t)\|=(2t,\,4,\,5)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \|\gamma'(t)\|=\sqrt{(2t)^2+4^2+5^2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \|\gamma'(t)\|=\sqrt{4t^2+16+25}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \|\gamma'(t)\|=\sqrt{4t^2+41}\qquad\mathrm{(i)}$

com $t\in[0,\,2].$

Escrevendo a integral de linha em termos do parâmetro $t,$ temos

    $\displaystyle\int_\gamma f\cdot d\mathbf{r}\\\\\\ =\int_0^2 f(\gamma(t))\cdot \|\gamma'(t)\|\,dt\qquad\mathrm{(ii)}$

Como $f(x,\,y,\,z)=x+y^2z^3,$ então

    $f(\gamma(t))=f(t^2,\,4t,\,5t)\\\\ =t^2+(4t)^2(5t)^3\\\\ =t^2+16t^2\cdot 125t^3\\\\ =t^2+2000t^5\qquad\mathrm{(iii)}$

Substituindo em (ii), a integral fica

    $\displaystyle=\int_0^2 (t^2+2000t^5)\sqrt{4t^2+41}\,dt\quad\longleftarrow\quad \mathsf{resposta.}$

Obs.: Os parênteses na 2ª alternativa da foto não correspondem à resposta correta.

Bons estudos!

Answer 2

Resposta:

∫

2

0

(

t

2

+

2000

t

5

√

4

t

2

+

41

)

d

t

Explicação passo a passo: