Question

Marina queria comprar uma bolsa. Para guardar dinheiro todos os dias, durante 10 dias, ela conseguiu a quantia que precisava para comprar essa bolsa. No primeiro dia, marina guardou r$ 0,10 e a cada dia ela guardou o dobro da quantia guardada no dia anterior. Qual é a quantia que marina precisava para comprar essa bolsa?

Answer 1

Resposta: R$ 102,30

Explicação:

das informações fornecidas, pode-se concluir que se trata de um problema de progressão geométrica (P.G.), uma vez que a cada dia Marina guardou o dobro da quantia guardada no dia anterior. Assim, vale a seguinte relação:

$a_{n} = a_{1} .q^{n-1}$

Onde, para utilizarmos a fórmula da soma será preciso saber quem é o 1º termo, a razão (q) e a quantidade de elementos (n) que essa P.G. possui.

Neste exemplo: n = 10; a1 = 0,10 e q = 2.

A soma de termo a termo, para se obter o total após 10 dias, pode ser assim determinada:

$S_{n} =a_{1} +a_{2} +a_{3} +...a_{n}$

$S_{10} =a_{1} +a_{2} +a_{3} +...a_{10}$

Dia 1:  $a_{1} = 0,10$

Dia 2:  $a_{2} = (0,10) .2^{2-1} = (0,10).2^{1} = 0,20$

Dia 3:  $a_{3} = (0,10) .2^{3-1} = (0,10).2^{2} = 0,40$

Dia 4:  $a_{4} = (0,10) .2^{4-1} = (0,10).2^{3} = 0,80$

Dia 5:  $a_{5} = (0,10) .2^{5-1} = (0,10).2^{4} = 1,60$

Dia 6:  $a_{6} = (0,10) .2^{6-1} = (0,10).2^{5} = 3,20$

Dia 7:  $a_{7} = (0,10) .2^{7-1} = (0,10).2^{6} = 6,40$

Dia 8:  $a_{8} = (0,10) .2^{8-1} = (0,10).2^{7} = 12,80$

Dia 9:  $a_{9} = (0,10) .2^{9-1} = (0,10).2^{8} = 25,60$

Dia 10:  $a_{10} = (0,10) .2^{10-1} = (0,10).2^{9} = 51,20$

Assim:

$S_{10} =a_{1} +a_{2} +a_{3} +...a_{10} = 102,30$

Ou diretamente pela fórmula da soma dos finitos termos de uma P.G., qual seja:

$S_{n} =\frac{a_{1}.(q^{n}-1)}{q-1} = \frac{(0,10).(2^{10}-1)}{2-1} = 102,30$