Question

marcos deu 5 voltas em uma pista circular de raio mediano 2km ao todo quantos metros ele percorreu? e a outra é dados z=20(cos30º+i.sen30º)e W=5(cos120º+isen120º)obtenha a)o numero complexo z.w B)o numero complexo Z sobre w

Answer 1

Ele percorre 5 vezes o comprimento da circunferência:

$\Delta S=5\cdot C\\\Delta S=5\cdot(2\cdot\pi\cdot r)\\\Delta S=10\cdot\pi\cdot r\\\Delta S=10\cdot\pi\cdot2\\\Delta S=20\pi~km\\\Delta S=20\pi\cdot1000~m\\\\\boxed{\boxed{\Delta S=20000\pi~m}}$
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Temos fórmulas para o produto e divisão de números complexos (se quiser que eu demonstre, deixa um comentário)

$\boxed{\boxed{z\cdot w=|z|\cdot|w|\cdot(cos~[\alpha+\beta]+i\cdot sen[\alpha+\beta])}}\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{z}{w}=\dfrac{|z|}{|w|}\cdot(cos~[\alpha-\beta]+i\cdot sen[\alpha-\beta])}}$

Onde 'α' é o argumento de z e 'β' é o argumento de w

$z=20\cdot(cos~30\º+i\cdot sen~30\º)$

Logo, o módulo de 'z' é 20 e o argumento de 'z' é 30º

$w=5\cdot(cos~120\º+i\cdot sen~120\º)$

Logo, o módulo de 'w' é 5 e o argumento de 'w' é 120º

a)

$z\cdot w=|z|\cdot|w|\cdot(cos~[\alpha+\beta]+i\cdot sen[\alpha+\beta])\\z\cdot w=20\cdot5\cdot(cos~[30\º+120\º]+i\cdot sen~[30\º+120\º])\\\\\boxed{\boxed{z\cdot w=100\cdot(cos~150\º+i\cdot sen~150\º)}}$

b)

$\dfrac{z}{w}=\dfrac{|z|}{|w|}\cdot(cos~[\alpha-\beta]+i\cdot sen[\alpha-\beta])\\\\\\\dfrac{z}{w}=\dfrac{20}{5}\cdot(cos~[30\º-120\º]+i\cdot sen~[30\º-120\º])\\\\\\\dfrac{z}{w}=4\cdot(cos~[-90\º]+i\cdot sen~[-90\º])\\\\\\\dfrac{z}{w}=4\cdot(cos~[0\º-90\º]+i\cdot sen[0\º-90\º])$

Como 360º é um arco côngruo ao 0º:

$\dfrac{z}{w}=4\cdot(cos~[360\º-90\º]+i\cdot sen[360\º-90\º])\\\\\\\boxed{\boxed{\dfrac{z}{w}=4\cdot(cos~270\º+i\cdot sen~270\º)}}$