Question

Marcam-se 9 pontos sobre uma reta e 7 pontos sobre uma reta paralela a primeira quantos triangulos podemos formar unindo 3 quaisquer desses pontos?

Answer 1

=> Para definirmos um triângulo necessitamos de 3 pontos

Assim podemos resolver este exercício de 2 formas diferentes:

--> Calculando todas as combinações possíveis de 3 pontos possíveis de fazer com os 16 pontos das 2 retas donde resultará C(16,3) ..subtraindo depois as combinações de 3 pontos de cada reta ...ou seja subtraindo C(9,3) e C(7,3) 

--> Calculando todas as combinações de 2 pontos de uma reta com as combinações de 1 ponto da outra reta e somá-las ...ou seja C(9,2).C(7,1) + C(9,1).C(7,2)

Vamos resolver pela 1ª forma:

Assim teremos: 

N = C(16,3) - C(9,3) - C(7,3)

N = (16!/3!(16-3)!) - (9!/3!(9-3)!) - (7!/3!(7-3)!)

N =  (16!/3!13!) - (9!/3!6!) - (7!/3!4!)

N =  (16.15.14.13!/3!13!) - (9.8.7.6!/3!6!) - (7.6.5.4!/3!4!)

N =  (16.15.14/3!) - (9.8.7/3!) - (7.6.5/3!)

N =  (16.15.14/6) - (9.8.7/6) - (7.6.5/6)

N = (560) - (84) - (35)

N = 441 <--- número de triângulos possíveis de formar

Espero ter ajudado novamente

Answer 2

$\Large\boxed{\boxed{\boxed{{Ola\´\ Aluno(a)}}}}}$

São 9 pontos sobre uma reta R  e 7 pontos sobre uma reta paralela a R , totalizando assim 16 pontos. A questão pede o número de triângulos que existem com vértices nesses pontos.

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Sabemos que para formar um triângulo ,são 3 pontos , portanto temos que combinar , cada ponto marcado a cada reta , veja :

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Fórmula :

Cₐ,ₓ = a!/x!(a-x)!

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C₁₆,₃ = 16!/3!(16-3)!

C₁₆,₃ = 16!/3!*13!

C₁₆,₃ = 16*15*14*13!/3!*13!

C₁₆,₃  = 16*15*14/3*2

C₁₆,₃  = 3360/6

C₁₆,₃ = 560

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560 é o número total de combinações unindo 3 pontos , mas temos subtrair a união de 9 e 7 pontos, ou seja , temos que retirar  os pontos que não formam triângulos , de 9 e 7 pontos.

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N = (C₉,₃) + (C₇,₃)

N = (9!/3!(9-3)!) + (7!/3!(7-3)!)

N = (9!/3!*6!) + (7!/3!*4!)

N = (9*8*7*6!/3!*6!) + (7*6*5*4!/3!*4!)

N = (9*8*7/3*2) + (7*6*5/3*2)

N = (504/6) + (210/6)

N = (84) + (35)

N = 119

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Subtraindo o total de combinações de 3 pontos das combinações de 9 e 7 pontos temos :

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N = 560 - 119

N = 441

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Portanto existem 441 triângulos que existem com vértices nesses pontos.

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Espero ter ajudado!