(Makenzie-SP) As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Se a área do triângulo é 1/6, o seu perímetro é:
a) 12
b) 5/6
c) 4
d) 2
e) 7/6
Soluções para a tarefa
x- r → altura
x → base
x+r → hipotenusa
Aplicando o Teorema de Pitágoras fica:
(x + r)² = x² + (x - r)²
x² + 2xr + r² = x² + x² - 2xr + r²
x² + 2xr + r² - x² - x² + 2xr - r² = 0
-x² + 4xr = 0 ↔ x(-x + 4r) = 0 ↔ x = 0 ou -x + 4r = 0
Portanto, -x + 4r = 0 ↔ -x = -4r ↔ x = 4r
▲ x = 4r ( x = 0 foi desconsiderada do contrário não temos triângulo)
Lados do Triangulo Retângulo:
x = 4r → base
x - r = 3r → altura
x + r = 5r → hipotenusa
Area do Triângulo:
(4r × 3r)/2 = 1/6
12r²/2 = 1/6 ↔ 6r² = 1/6 ↔ r² = 1/36 ↔ r = 1/6 (não usamos ± devido que estamos tratando de medida só nos interessa a parte positiva)
Perímetro do Triângulo: (soma dos lados)
x = 4r ↔ x = 4/6
x - r = 3r ↔ x - r = 3/6
x + r = 5r ↔ x + r = 5/6
P = 3/6 + 4/6 + 5/6 = 12/6 = 2
Alternativa (D)
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Obrigado pela oportunidade
Boa sorte, bons estudos!
SSRC - 2015
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Se a área do triângulo é 1/6, o seu perímetro é 2.
Vamos considerar que a progressão aritmética é (x - r, x, x + r).
Se as medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética, então podemos dizer que:
- Os catetos medem x - r e x
- A hipotenusa mede x + r.
Pelo Teorema de Pitágoras, temos que:
(x + r)² = (x - r)² + x²
x² + 2xr + r² = x² - 2xr + r² + x²
2xr = -2xr + x²
x² = 4xr
x = 4r.
A área de um triângulo retângulo é igual a metade do produto dos catetos.
De acordo com o enunciado, a área do triângulo é igual a 1/6. Então:
1/6 = (x - r).x/2
1/3 = x² - rx
1/3 = (4r)² - r.(4r)
1/3 = 16r² - 4r²
1/3 = 12r²
r² = 1/36
r = 1/6.
A progressão aritmética é (3/6,4/6,5/6).
Portanto, os lados do triângulo medem: 3/6, 4/6 e 5/6.
O perímetro é igual à soma de todos os lados. Logo, o perímetro do triângulo é:
2P = 3/6 + 4/6 + 5/6
2P = 12/6
2P = 2.
Para mais informações sobre progressão aritmética: https://brainly.com.br/tarefa/19758194
