Question

Mais perguntas referentes a PA gente, rs . 

15) Em uma PA o último termo é 200, sua razão é 7 e a soma de seus termos é 2955. Determine o 1º termo e o número de termos dessa PA.
16) o 1º termo de uma PA é 8 e a soma de seus 15 primeiros termos é 85. Qual é a razão dessa PA?

Por favor gente façam a conta por favor, e obrigado desde já galera <3 <3 até mais *----* ! 

Answer 1

E aí Victor blz?!

Pelos dados da P.A., temos:

$\begin{cases}a_n=200\\ r=7\\ S_n=2.955\\ a_1=?\\ n=?\end{cases}$

Primeiro, vamos determinar o termo geral da P.A., já que não possuímos o número de termos n e o primeiro:

$a_n=a_1+(n-1)r\\ a_1+(n-1)*7=200\\ a_1+7n-7=200\\ a_1+7n=200+7\\ a_1=207-7n$

Por enquanto o primeiro termo representa este valor, agora vamos usa-lo na fórmula da soma dos n primeiros termos da P.A.:

$S_n= \dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\\\\\\ \dfrac{(207-7n+200)*n}{2}=2.955\\\\(407-7n)*n=2.955*2\\ 407n-7n^2=5.910\\ 7n^2-407n+5.910=0~\to~(eq.~do~2\°~grau)$

$n= \dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}\\\\\\ n= \dfrac{-(-407)\pm \sqrt{(-407)^2-4*7*5.910} }{2*7}\\\\\\ n= \dfrac{407\pm \sqrt{165.649-165.480} }{14}\\\\\\ n= \dfrac{407\pm \sqrt{169} }{14}~\to~n= \dfrac{407\pm13}{14}\begin{cases}n'= \dfrac{407-13}{14}\to~n'= \dfrac{394}{14}\\\\ n''= \dfrac{407+13}{y}\to~n''=30 \end{cases}$

Como n em forma de fração não nos serve, pois o número de termos deve pertencer ao conjunto IN, conjunto da contagem, só nos serve n=30. Substituindo o valor do número de termos, podemos achar o primeiro:

$a_1=207-7n\\ a_1=207-7*30\\ a_1=207-210\\ a_1=-3$

Portanto, o número de termos vale 30 e o primeiro termo -3.

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vamos identificar os termos da outra P.A. e descobrirmos a sua constante:

$\begin{cases}a_1=8\\ n=15~termos\\ S_{15}=85\\ a_15=a_1+14r\\ r=? \end{cases}$

Pela fórmula da soma dos n primeiros termos da P.A., temos que:

$S_n= \dfrac{(a_1+a_n)n}{2}\\\\\\ \dfrac{(8+a_1+14r)*15}{2}=85\\\\\\ (8+8+14r)*15=85*2\\ (16+14r)*15=170\\ 240+210r=170\\ 210r=170-240\\ 210r=-70\\\\ r= \dfrac{-70}{210}~\to~r= \dfrac{-70:70}{210:70} ~\to~\boxed{r=- \dfrac{1}{3}}~\to~raz\~ao~da~P.A.$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos mano =))