Question

Mais esses problemas:
03° Calcule os valores de m,n e l para os quais o polinômio p(x)= (21m-1)x^3-(21n-2)x²+(21-2l) é nulo.

04° Calcule os valores de a,b e c para o polinômio p(x)= a(x+c)^3+b(x+d) seja idêntico a q(x)= x^3+6x²+15x+21.

05° Calcule os valores de m e n para que seja exata a divisão do polinômio p(x)=2x^3+mx²+nx-21 por h(x)= 2x²-x-21.

Obrigado desde já.. Se puderem ajudar agradeço muito.. (ÚLTIMO TRABALHO DO 3° ANO)...

Answer 1

3) Calcule os valores de m,n e l para os quais o polinômio p(x) = (21m - 1)x³ - (21n - 2)x² + (21 - 2l) é nulo.
Para ser nulo, os coeficientes devem ser 0, logo:
21m - 1 = 0                 21n - 2 = 0                 21 - 2l = 0
21m = 0 + 1                21n = 0 + 2              - 2l = 0 - 21
21m = 1                      21n = 2                    - 2l = - 21
m = 1/21                     n = 2/21                       l = - 21/(-2)
                                                                      l = 21/2
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4) Calcule os valores de a, b e c para o polinômio p(x) = a (x+c)³ + b (x + d) seja idêntico a q(x) = x³ + 6x² + 15x + 21.
Se são idênticos, então os coeficientes, das variáveis de mesmo expoente, serão iguais, logo:
p(x) = a (x + c)³ + b (x + d) 
p(x) = a (x³ + 3cx² + 3c²x + c³) + bx + bd 
p(x) = ax³ + 3acx² + 3ac²x + ac³ + bx + bd 
p(x) = ax³ + 3acx² + 3ac²x + bx + ac³ + bd 
p(x) = ax³ + 3acx² + (3ac² + b)x + (ac³ + bd)

Como são idênticos:
p(x) = q(x)
 ax³ + 3acx² + (3ac² + b)x + (ac³ + bd) = x³ + 6x² + 15x + 21
 
a = 1                3ac = 6                3ac² + b = 15                 ac³ + bd = 21
                       3ac = 6                3 · 1 · 2² + b = 15          1 · 2³ + 3d = 21
                        3 · 1 · c = 6           3 · 1 · 4 + b = 15          1 · 8 + 3d = 21
                            3c = 6                 12 + b = 15                     8 + 3d = 21
                              c = 6/3                    b = 15 - 12                  3d = 21 - 8
                              c = 2                              b = 3                      3d = 13
                                                                                               d = 13/3                                                                                                       d = 195/93
a = 1, b = 3, c = 2 e d = 13/3
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5) Calcule os valores de m e n para que seja exata a divisão do polinômio p(x) = 2x³ + mx² + nx - 21 por h(x) = 2x² - x - 21.
$h(x) = 2x^2 - x - 21=2\cdot\Big(x- \frac{7}{2} \Big)\cdot(x+3)$
Logo teremos p(7/2) = 0 e p(-3) = 0
$p(x) = 2x^3 + mx^2 + nx - 21\\ p\Big( \frac{7}{2}\Big) = 2\cdot\Big( \frac{7}{2}\Big)^3 + m\cdot\Big( \frac{7}\\{2}\Big)^2 + n\cdot\Big( \frac{7}{2}\Big) - 21\\ 0= 2\cdot\frac{343}{8} + m\cdot \frac{49}{4} + \frac{7n}{2} - 21\\ \\0= \frac{343}{4} + \frac{49m}{4} + \frac{7n}{2} - 21\\ \\0= \frac{343}{4} + \frac{49m}{4} + \frac{14n}{4} - \frac{84}{4} \\ \\343+49m+14n-84=0\\ \\49m+14n=-259\\\\7m+2n=-37$
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$p(x) = 2x^3 + mx^2 + nx - 21\\ \\p(-3) = 2\cdot(-3)^3 + m\cdot(-3)^2 + n\cdot(-3) - 21\\ \\0= 2\cdot-27 + m\cdot9 -3n - 21\\ \\0= -54 +9m -3n - 21\\ \\-54 +9m -3n - 21=0\\ \\9m-3n=75\\ \\3m-n=25$

Ficamos com um sistema com duas variáveis:
$\left \{ {{7m+2n=-37} \atop {3m-n=25}} \right.$

Resolvendo pelo método da substituição:
3m - n = 25
3m - 25 = n
n = 3m - 25
Substituindo na outra:
7m + 2n = -37
7m + 2 · (3m - 25) = -37
7m + 6m - 50 = -37
7m + 6m = -37 + 50
13m = 13
m =13/13
m =1
Substituímos em qualquer uma das duas para achar o valor de n.
3m - n = 25
3 · 1 - n = 25
3 - n = 25
- n = 25 - 3
-n = 22
n = 22/(-1)
n = -22
logo, teremos m = 1 e n = -22
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p(x) = 2x³ + mx² + nx - 21
p(x) = 2x³ + 1 · x² + (-22) · x - 21
p(x) = 2x³ + x² - 22x - 21
observe que:
$p\Big( \frac{7}{2} \Big) = 2\cdot\Big( \frac{7}{2} \Big)^3 + \Big( \frac{7}{2} \Big)^2 - 22\cdot\Big( \frac{7}{2} \Big) - 21\\ \\p\Big( \frac{7}{2} \Big) = 2\cdot \frac{243}{8} +\frac{49}{4} - 77 - 21\\ \\p\Big( \frac{7}{2} \Big) = \frac{243}{4} +\frac{49}{4} - 77 - 21\\ \\p\Big( \frac{7}{2} \Big) = \frac{243+49}{4} - 77 - 21\\ \\p\Big( \frac{7}{2} \Big) =98 - 77 - 21\\ \\p\Big( \frac{7}{2} \Big) =0$
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$p(-3) = 2\cdot(-3)^3 +( -3)^2 - 22\cdot( -3) - 21\\ \\p(-3) = 2\cdot(-27) +9 +66- 21\\ \\p(-3) = -54 +9 +66- 21\\ \\p(-3) = 0$