Question

A figura (a) mostra uma molécula composta de dois átomos de massas m e M (com m ≤ M) e separação r. A figura (b) mostra a energia potencial U(r) da molécula em função de r. Descreva o movimento dos átomos
a) Se a energia mecânica total E do sistema de dois átomos é maior que zero (como E1)
b) Se E é menor que zero (como E2).
c) Para E1= 1.10ˆ-19 J e r=0,3nm, encontre a energia potencial do sistema, a energia cinética total dos átomos e a força (módulo e sentido) que atua sobre cada átomo.
d) Para que valores de r a força é repulsiva, qual valor será atrativa e qual será nula?

Answer 1

a) Se $U \leq E_1,~~U>0$ haveria uma força de repulsão fortíssima entre os átomos e eles se repulsariam. Tornando r cada vez maior. Por esse ponto ser instável (não é um poço de energia) os átomos se afastariam, ou seja $r\to\infty$, isso pois a região da assíntota horizontal é acessível para $U=E_1$.

b) Se $U\ \textless \ 0~|~U \leq E_2$, os átomos teriam força de atração, e se manteriam bem próximos. Os únicos pontos acessíveis para $U \leq E_2$ são aproximadamente os valores no intervalo $r\in(1,06\cdot10^{-1},3\cdot10^{-1})$, os dois átomos oscilariam em MHS (aproxima, afasta, aproxima, afasta) adquirindo e perdendo energia no intervalo dito acima. Ele é estável nesse nível de energia pois está em um poço de energia. (a molécula é estável com U = E2!!)

c)
$E=T+U$
onde T = energia cinética e U = energia potencial.
$T=\frac{1}{2}mv^2\\U=-\int \vec{F}\cdot d\vec{s}$

O átomo M exerce uma força $\vec{F}$ em m que exerce uma força $-\vec{F}$em M.
A variação de energia potencial é dada por $\Delta U=-W=-\int \vec F\cdot d\vec s$
logo
$\displaystyle |\vec{F}|=-\vec{\nabla}U\approx-\frac{\Delta U}{\Delta r}$
O r mínimo que U pode alcançar é $\approx 7,5\cdot10^{-1}nm=x'_0$ que chamaremos de x' zero. E o máximo é 0,3nm que chamaremos de $x'$.
Seja $U(r)$ a função energia potencial:
$U(x'_0)=10^{-19}J\\U(x')=0J$
$\Delta U=U(x')-U(-x'_0)$
e $\Delta r=x'-x'_0$
Então:
$\displaystyle |\vec{F}|=-\frac{\Delta U(r)}{\Delta r}=-\frac{10^{-19}-0}{7,5\cdot10^{-1}-3\cdot10^{-1}}=-\frac{1\cdot10^{-19}}{4,5\cdot10^{-1}}\\|\vec{F}|=-\frac{1}{4,5\cdot10^{18}}\left(\frac{kg\cdot Gm}{s^2}\right)$
Considerando o sentido de F o espaço vetorial analisado pela questão é unidimensional, então podemos definir um versor î para transformar F em um vetor:
Seja $\hat{i}= \left[\begin{array}{c}1\end{array}\right] |~\hat{i}\in\mathbb{R}$ (observe a representação nas imagens)
então:
$|\vec{F}|\cdot\hat{i}=\vec{F}$
ou seja:
$\displaystyle \vec{F}=-\frac{1}{4,5\cdot10^{18}}\hat{i}$
Logo a módulo foi dado, com o versor î a direção foi dada, o sentido depende do sinal do módulo da força, por se tratar de uma força restauradora quando a força aplicada for positiva a resultante será negativa. 

d)
$\vec{F}$ é atrativa quando $r\approx(1,6\cdot10^{-1},3\cdot10^{-1})$,
Repulsiva para $r=(-\infty,1.6\cdot10^{-1})\cup(0.3,+\infty)$,
E nula para  
$r\approx1,6\cdot10^{-1}nm\\r\approx3\cdot10^{-1}nm$