Question

Magnitude e energia podem ser relacionadas pela fórmula descrita por Gutenberg e Richter em 1935: log E= 11,8+1,5M, onde onde: E= Energia liberada liberadaem Ergs e M= magnitude do terremoto Agora responda= a) Qual a relação entre as energias, E1 e E2, liberada por dois terremotos de magnitude M1 e M2 respectivamente. b) Compare as energias liberadas liberadas pelos terremotos. Considerando M1= 4,9 Graus e M2= 3,9 Graus

Answer 1

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Sendo

•   $\mathsf{E}$ energia liberada (em ergs);

•   $\mathsf{M}$ magnitude do terremoto;


ambas as grandezas estão relacionadas pela equação

$\mathsf{\ell og\,E=11,\!8+1,\!5M\qquad\quad(i)}$

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a) Considere dois terremotos cujas energias liberadas sejam $\mathsf{E_1}$  e  $\mathsf{E_2},$  de magnitudes $\mathsf{M_1}$  e  $\mathsf{M_2},$ respectivamente.


Devemos ter

$\mathsf{\ell og\,E_1=11,\!8+1,\!5M_1\qquad\quad(ii)}\\\\ \mathsf{\ell og\,E_2=11,\!8+1,\!5M_2\qquad\quad(iii)}$


Subtraindo as equações acima membro a membro, obtemos

$\mathsf{\ell og\,E_1-\ell og\,E_2=11,\!8+1,\!5M_1-(11,\!8+1,\!5M_2)}\\\\ \mathsf{\ell og\,E_1-\ell og\,E_2=1,\!5M_1-1,\!5M_2}\\\\ \mathsf{\ell og\,E_1-\ell og\,E_2=1,\!5\cdot (M_1-M_2)}\\\\ \mathsf{\ell og\left(\dfrac{E_1}{E_2}\right)=1,\!5\cdot (M_1-M_2)}$


$\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{\dfrac{E_1}{E_2}=10^{1,5\,\cdot\,(M_1-M_2)}} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\textsf{raz\~ao entre as energias liberadas.}$

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b) Para

$\mathsf{M_1=4,\!9~graus}\\\\ \mathsf{M_2=3,\!9~graus}$


a relação entre as respectivas energias liberadas é

$\mathsf{\dfrac{E_1}{E_2}=10^{1,5\,\cdot\,(4,9-3,9)}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{E_1}{E_2}=10^{1,5\,\cdot\,1,0}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{E_1}{E_2}=10^{1,5}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{E_1}{E_2}\approx 31,\!6}$


ou ainda

$\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{E_1\approx 31,\!6\cdot E_2} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


A energia liberada pelo terremoto de magnitude 4,9 graus é aproximadamente 31,6 vezes maior que a energia liberada pelo terremoto de 3,9 graus.


Bons estudos! :-)


Tags:   aplicação propriedade operatória logaritmo álgebra