Question

(Mackenzie - SP) Os vértices de um triângulo são A(1,k), B(3,0)e C(2,1); M é o ponto médio de AB; e N é o ponto médio de BC. Se a área do triângulo MCN é 0,20, então K pode ser:
a. 6/5
b. 12/5
c. 18/5
d. 4
e. 5

Answer 1

Ponto médio entre $A$ e $B\ \ (M)$ ⇒ $(xM, yM)$, onde :

$xM = \frac{(xA + xB)}{2}$ e $yM = \frac{(yA + yB)}{2}$

$xM = \frac{(1 + 3)}{2} \\ xM = 2 \\ yM = \frac{(K + 0)}{2} \\ yM = \frac{K}{2}$

Ponto médio entre $B$ e $C \ \ (N)$ ⇒ $(xN, yN)$, onde :

$xN = \frac{(xB + xC)}{2}$ e $yN = \frac{(yB + yC)}{2}$

$xN = \frac{(3 + 2)}{2} \\ xN = \frac{5}{2} \\ yN = \frac{(0 + 1)}{2} \\ yN = \frac{1}{2}$

Pontos do triângulo $MCN$ : $M\ (2,\frac{K}{2})\ ; \ \ N\ (\frac{5}{2}, \frac{1}{2})\ ; \ \ C\ (2,1)\ .$

Colocando os pontos numa matriz (a terceira coluna é preenchida por $1$ e as duas primeiras colunas são repetidas para que se possa tirar o determinante) :

$\left[\begin{array}{ccccc}2&\frac{K}{2}&1&2&\frac{K}{2}\\\frac{5}{2}&\frac{1}{2}&1&\frac{5}{2}&\frac{1}{2}\\2&1&1&2&1\end{array}\right]$

Mas antes, tem-se que : $A = \frac{|det|}{2}$

Sendo $A = 0,2\ :$ 

$0,2 = \frac{|det|}{2} \\ \\ |det| = 0,2 * 2 \\ \\ |det| = 0,4$ ⇒ Este é o módulo do determinante da matriz !

Voltando à matriz, $det =$ (Soma das das diagonais maiores) - (Soma das diagonais menores)
$D. maior = (2 * \frac{1}{2} * 1) \ + \ (\frac{K}{2} * 1 * 2) + (1 * \frac{5}{2} * 1) \\ \\ D. maior = 1 \ + \ K + \ \frac{5}{2} \rightarrow Tirando \ MMC \ : \\ \\ D.maior = \frac{(7 + 2 * K)}{2}$

$D.menor = (2 * \frac{1}{2} * 1) \ + \ (1 * 1 *2) \ + \ (1 * \frac{5}{2} * \frac{K}{2}) \\ \\ D. menor = 1 \ + \ 2 \ + \frac{5 * K}{4} \rightarrow Tirando \ MMC \ : \\ \\ D. menor = \frac{12 + 5 * K}{2}$

Considerando o determinante negativo:
$det \ = \ D. maior \ - \ D.menor \\ \\ -0,4 = \frac{(7 + 2 * K)}{2} \ - \ \frac{12 + 5 * K}{4} \\ \\ -0,4 = \frac{(14 + 4*K - 12 - 5*K)}{4} \\ \\ -0,4 = \frac{(2 - K)}{4} \ \rightarrow Transformando \ em \ fracao \ : \\ \\ \frac{-2}{5} = \frac{(2 - K)}{4} \\ \\ \frac{-8}{5} - 2 = -K \ \rightarrow Tirando \ o \ MMC : \\ \\ K = \frac{18}{5}$

Answer 2

Resposta:

18/5

Explicação passo-a-passo:

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