Matemática, perguntado por TatahBrant7075, 4 meses atrás

(Mackenzie) O número de soluções que a equação 4 cos2x − cos 2x + cos x = 2 admite no intervalo [

Soluções para a tarefa

Respondido por Sban1
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O número de soluções para a equação é de

\Large\text{$ \boxed{\boxed{3}}$}

  • Mas, como chegamos nessa resposta?

Equação trigonométrica

Antes de começarmos precisamos saber a seguinte relação trigonométrica

  • Cos\left(2x\right)=2Cos^2\left(x\right)-1

Com isso em mente vamos lá

Temos a seguinte equação trigonométrica

\boxed{4Cos^2(x)-Cos(2x)+cos(x)=2} no intervalo de [0,2\pi ]

Queremos saber o número de soluções possíveis de X que satisfaçam o intervalo de [0,2\pi ]

Então vamos isolar X

4Cos^2(x)-Cos(2x)+Cos(x)=2\\\\\\4Cos^2(x)-(2Cos^2(x)-1)+Cos(x)=2\\\\\\4Cos^2(x)-2cos^2(x)+1+Cos(x)=2\\\\\\2Cos^2(x)+Cos(x)+1=2\\\\\\2Cos^2(x)+Cos(x)+1-2=0\\\\\\\boxed{2Cos^2(x)+Cos(x)-1=0}

Agora vamos usar um método chamado método da substituição

Vamos chamar Cos(x) de U

\boxed{Cos(x)=U}

2Cos^2(x)+Cos(x)-1=0\\\\\\\boxed{2U^2+U-1=0}

Agora temos uma equação quadrática para resolve-la usamos Bhaskara

2U^2+U-1=0\\\\A=2\\B=1\\C=-1

Vamos achar Delta

\Delta=B^2-4\cdot A\cdot C

\Delta=1^2-4\cdot 2\cdot -1\\\\\Delta=1+8\\\\\Delta=9

Agora vamos achar o U

U=\dfrac{-B\pm\sqrt{\Delta}  }{2A}

U=\dfrac{-1\pm\sqrt{9}  }{2\cdot 2}\\\\\\U=\dfrac{-1\pm3 }{4}

U_1=\dfrac{-1+3  }{4}\Rightarrow \dfrac{2}{4} = \boxed{\dfrac{1}{2} }

U_2=\dfrac{-1-3  }{4}\Rightarrow \dfrac{-4}{4} = \boxed{-1 }

Agora lembre-se que \boxed{Cos(x)=U}

Então temos

Cos(x)=\dfrac{1}{2} \\\\\\Cos(x)= -1

Vamos descobrir o valor de X e ver se ele admite o intervalo [0,2\pi ]

Vamos começar com \dfrac{1}{2}

Cos(x)=\dfrac{1}{2}\\\\\\x=Arccos\left(\dfrac{1}{2} \right)\\\\\\\boxed{X= 60^\circ~e~300^\circ}

Ja temos duas soluções, agora vamos ver para Cos(x)=-1

Cos(x)= -1\\\\x=Arccos(-1)\\\\\boxed{X=180^\circ }

Ou seja Para Cos(x)= -1 temos uma solução

Juntando as soluções temos 3

2+1=\boxed{3}

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