Question

(Mackenzie 1998) Se 3 + 4i é raiz cúbica de um complexo z, então o produto das outras raízes cúbicas de z é:

Answer 1

Um número complexo z pode ser representado por:

$z = p(cos \theta + i.sen\theta)$

Podemos encontrar o módulo de z, fazendo:

p = √(3² + 4²) = 5

O número 3 + 4i pode ser escrito como z1 = 5*(3/5 + i4/5), sabemos então que cosθ = 3/5 e senθ = 4/5 que corresponde ao ângulo de aproximadamente 53º.

As raízes de um número complexo são interpretadas como pontos pertencentes a uma circunferência de centro na origem e raio igual a ∛|z| e dividem essa circunferência em n partes iguais. Como nosso caso tem n = 3, cada parte da circunferência terá 120º, então se uma raíz está localizada em 53º, as outras duas estarão em 173º e 293º e podem ser escritas como:

z1 = 5 (cos53 + i.sen53)

z2 = 5 (cos173 + i.sen173)

z3 = 5 (cos293 + i.sen293)

O produto de z2 e z3 será:

z2*z3 = 5 (cos173 + i.sen173) *5 (cos293 + i.sen293)

z2*z3 = 25(cos173*cos293 + cos173*i.sen293 +i.sen173*cos293 + i²sen173*sen293)

z2*z3 = 25 (-0,39 + i0,91 + i0,05 + 0,11)

z2*z3 = 25 (-0,28 + i0,96)

z2*z3 = -7 + i24

Answer 2

Resposta: -7 + 24i

Como x = 3 +  4i é uma raiz cúbica do número complexo z, então sabemos que:

z = x^3 = (3 + 4i)^3

Sejam y e w as outras duas raízes de z, tem-se que

z = xyw => (3 + 4i)^3 = (3 + 4i)yw => [(3 + 4i)^3]/(3 + 4i) = yw =>

=> yw = (3 + 4i)^2 = 9 + 24i + 16i^2 = 9 + 24i - 16 = -7 + 24i =>

=> yw = -7 + 24i