Question

(M100126I7) Manoel irá delimitar uma região retangular, às margens de um rio, utilizando uma tela já

comprada, de altura e comprimento fixos. A medida da área da região retangular, em metros quadrados,

que pode ser delimitada por essa tela é determinada pela relação f(x) = −2x2

+ 80x, em que x é a medida,

em metros, de um dos lados dessa região.

Com essa tela, Manoel pode delimitar uma região retangular de, no máximo, quantos metros quadrados

de área?


A) 20.

B) 40.

C) 800.

D) 1 600.

E) 6 400.​

Answer 1

Manoel pode delimitar uma região retangular de, no máximo, 800 metros quadrados (Letra C).

A área pode ser delimitada pela função: f(x) = −2x² + 80x, sendo essa uma função de segundo grau.

O gráfico dessa função é uma parábola, como o coeficiente ''a'' é um número negativo, então a concavidade da parábola é voltada para baixo.

A parábola tem o ponto máximo, cujo ponto é denominado vértice. Como a questão pede a área máxima, então a resposta do enunciado é o vértice, mais especificamente o Y do vértice.

Existe uma fórmula para calcular o X do vértice:

Xv = -b/2.a

Xv = -80/-4

Xv = 20

Como f(x) = y, temos:

f(x) = −2x² + 80x

Yv = −2.20² + 80.20

Yv = -800 + 1600

Yv = 800

Para mais informações:

https://brainly.com.br/tarefa/36411368

Answer 2

A alternativa C é a correta. A área máxima, em metros quadrados, que Manoel pode delimitar a região retangular é de 800 m².

Podemos determinar a área máxima através da fórmula para o cálculo do valor máximo ou mínimo de uma função quadrática.

Função Quadrática

Uma função quadrática é uma relação que pode ser dada pela fórmula geral:

$\boxed{ f(x) = ax^{2} + bx + c = 0 , \: a \neq 0 }$

Os números a, b e c são coeficientes da função quadrática.

Para a função quadrática dada:

$\boxed{f(x) = -2x^2+80x}$

Os coeficientes são:

• $a=-2$
• $b=80$
• $c=0$

Concavidade da Parábola

Se:

• a > 0 o gráfico da função será uma parábola com concavidade voltada para cima e sua imagem apresentará um valor de mínimo;
• a < 0 o gráfico da função será uma parábola com concavidade voltada para baixo e sua imagem apresentará um valor de máximo;

Como $a = -2 < 0$, então a função apresentará um valor de máximo.

Podemos calcular o valor de máximo da função pela fórmula da ordenada do vértice da parábola:

$\boxed{ V_{y} = - \dfrac{\Delta}{4a} = - \dfrac{ b^{2} - 4 \cdot a \cdot c }{4a} }$

Substituindo os coeficientes na fórmula:

$V_{y} = - \dfrac{ b^{2} - 4 \cdot a \cdot c }{4a} } \\\\V_{y} = - \dfrac{ (80)^{2} - 4 \cdot (-2) \cdot 0}{4 \cdot (-2)} }\\\\V_{y} = - \dfrac{6400}{-8} } \\\\\boxed{ \boxed{ V_{y} = 800} }}$

Assim, a área máxima da região é de 800 m². A alternativa C é a correta.

Para saber mais sobre Função Quadrática, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/9660765 https://brainly.com.br/tarefa/24023254

Espero ter ajudado, até a próxima :)

#SPJ3