Question

M (2,-1) N (-1,4) e P (-2,2) são os pontos médios, respectivamente dos lados AB, BC E AC de um triângulo. Determine A, B e C e o baricentro G do triângulo ABC​

Answer 1

Os pontos A, B e C são A = (1,-3), B = (3,1) e C = (-5,7) e o baricentro G é G = (-1/3,5/3).

Vamos considerar que: A = (xa,ya), B = (xb,yb) e C = (xc,yc).

De acordo com o enunciado, o ponto M = (2,-1) é ponto médio do lado AB. Então:

2M = A + B

2(2,-1) = (xa,ya) + (xb,yb)

(4,-2) = (xa + xb, ya + yb).

O ponto N = (-1,4) é o ponto médio do lado BC. Logo:

2N = B + C

2(-1,4) = (xb,yb) + (xc,yc)

(-2,8) = (xb + xc, yb + yc).

O ponto P = (-2,2) é o ponto médio do lado AC. Logo:

2P = A + C

2(-2,2) = (xa,ya) + (xc,yc)

(-4,4) = (xa + xc, ya + yc).

Observe que podemos montar dois sistemas lineares:

{xa + xb = 4

{xb + xc = -2

{xa + xc = -4

e

{ya + yb = -2

{yb + yc = 8

{ya + yc = 4.

Podemos dizer que xa = 4 - xb e xc = -2 - xb. Sendo assim:

4 - xb - 2 - xb = -4

-2xb = -6

xb = 3.

Consequentemente:

xa = 4 - 3

xa = 1

e

xc = -2 - 3

xc = -5.

Podemos dizer que ya = -2 - yb e yc = 8 - yb. Sendo assim:

-2 - yb + 8 - yb = 4

-2yb = -2

yb = 1.

Consequentemente:

ya = -2 - 1

ya = -3

e

yc = 8 - 1

yc = 7.

Portanto, podemos afirmar que os pontos A, B e C são iguais a A = (1,-3), B = (3,1) e C = (-5,7).

O baricentro do triângulo ABC é igual a:

3G = A + B + C

3G = (1,-3) + (3,1) + (-5,7)

3G = (1 + 3 - 5, -3 + 1 + 7)

3G = (-1,5)

G = (-1/3,5/3).