Question

(Logaritmos) Encontre o valor de x da equação:

$\boxed{(2x)^{log_b2}=(3x)^{log_b3}}$

Answer 1

Resolver a equação:

$\mathsf{(2x)^{log_b\,2}= (3x)^{log_b\,3}}$

Usando a base b, expressando as exponenciais em termos de logaritmos, temos que

$\mathsf{2x=b^{log_b\,(2x)}}$

$\mathsf{3x=b^{log_b\,(3x)}}$

e como 2x e 3x aparecem no logaritmando, temos como.condição de existência para a equação

x > 0

e a equação fica

$\mathsf{[b^{log_b\,(2x)}]^{log_b\,2}=[b^{log_b\,(3x)}]^{log_b\,3}}$

Por propriedades de potenciação, multiplicamos os expoentes:

$\mathsf{b^{log_b\,(2x)\,\cdot\,log_b\,2}=b^{log_b\,(3x)\,\cdot\,log_b\,3}}$

A função exponencial é injetiva, então basta igualarmos os expoentes:

$\mathsf{log_b\,(2x)\cdot log_b\,2=log_b\,(3x)\cdot log_b\,3}$

O logaritmo do produto é a soma dos logaritmos:

$\mathsf{(log_b\,2+log_b\,x)\cdot log_b\,2=(log_b\,3+log_b\,x)\cdot log_b\,3}$

Aplicando a distributiva e isolando $\mathsf{log_b\,x,}$

$\mathsf{(log_b\,2)^2+log_b\,x\cdot log_b\,2=(log_b\,3)^2+log_b\,x\cdot log_b\,3}\\\\ \mathsf{log_b\,x\cdot log_b\,2-log_b\,x\cdot log_b\,3=(log_b\,3)^2-(log_b\,2)^2}\\\\ \mathsf{log_b\,x\cdot (log_b\,2-log_b\,3)=(log_b\,3)^2-(log_b\,2)^2}$

$\mathsf{log_b\,x=\dfrac{(log_b\,3)^2-(log_b\,2)^2}{log_b\,2-log_b\,3}}$

O numerador do lado direito é uma diferença de quadrados. Fatorando e simplificando, temos

$\mathsf{log_b\,x=\dfrac{(log_b\,3-log_b\,2)\cdot (log_b\,3+log_b\,2)}{log_b\,2-log_b\,3}}\\\\\\ \mathsf{log_b\,x=\dfrac{-(log_b\,2-log_b\,3)\cdot (log_b\,3+log_b\,2)}{log_b\,2-log_b\,3}}\\\\\\ \mathsf{log_b\,x=-(log_b\,3+log_b\,2)}\\\\ \mathsf{log_b\,x=-log_b\,(3\cdot 2)}\\\\ \mathsf{log_b\,x=-log_b\,6}\\\\ \mathsf{log_b\,x=log_b\,(6^{-1})}\\\\ \mathsf{log_b\,x=log_b\,\dfrac{1}{6}}$

e como a função logarítmica é injetiva, concluímos que

$\mathsf{x=\dfrac{1}{6}}$ <----- esta é a resposta.

Bons estudos! :-)