logaritmo de 8 na base 1/2 ?
Soluções para a tarefa
Resposta:
log ₀,₅ 8 = -3
Explicação passo-a-passo:
Olá,
Para resolvermos um logaritmo basta lembrarmos que :
O logaritmo nada mais é do que o número que eu devo elevar a minha base para chegar no valor do logaritmando. Nesse caso nós temos que :
log ₀,₅ 8 = b
base → 0,5 (Que é 1/2 representado na forma decimal)
logaritmando → 8
logaritmo → b
De acordo com a definição dada acima nós podemos dizer que :
0,5ᵇ = 8
1/2ᵇ = 8
Note que nós caímos em uma equação exponencial. Para resolver esse tipo de equação nós precisamos deixar os dois lados da minha igualdade numa mesma base. (Vou deixar os dois lados na base 2). Veja :
Vamos começar fatorando o 8 : (Fatorar significa decompor esse número em fatores primos até chegar no 1). Logo :
8 | 2
4 | 2
2 | 2
1 → 8 = 2.2.2 → 2³ (Na multiplicação de potencias de mesma base nós conservamos a base e somamos os expoentes. Como 2¹ = 2 então nós fizemos : 1 + 1 + 1 = 3).
Para colocar o 1/2 em base 2 nós devemos lembrar de uma propriedade da potenciação que versa sobre expoentes negativos. Observe :
2⁻ⁿ = 1/2ⁿ
Fazendo o caminho inverso nós temos que :
1/2 = 1/2¹ = 2⁻¹
Agora é só substituir os valores encontrados anteriormente na igualdade que a gente tinha montado. Portanto :
1/2ᵇ = 8
(2⁻¹)ᵇ = 2³
Do lado direito da equação nós temos uma potencia de potencia. Nesse caso basta multiplicar os expoentes. Logo :
(2⁻¹)ᵇ = 2⁻ᵇ
2⁻ᵇ = 2³
Se as bases dos dois lados da equação são iguais nós também podemos igualar os expoentes. Portanto :
-b = 3 (Multiplicando a nossa igualdade por (-1) p/ deixar a incógnita positiva nós ficamos com) :
b = -3, e como b = logaritmo então : log ₀,₅ 8 = -3