Question

loga (x-s) + loga (x+2) = 3

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Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Temos uma equação logarítmica, tal equação é dada por:

$\boxed{ \log_{2}(x - 5) + \log_{2}(x + 2) = 3}$

Antes de começar a resolver, vamos ver a condição de existência desses logaritmos, sabendo que o logaritmando deve ser maior que 0.

I) Condição de existência:

$\begin{cases} \star(x - 5) > 0 \star\\ x > 5 \\ \\ \star(x + 2) > 0\star \\ x > 2\end{cases}$

Tendo conhecimento da condição de existência, podemos iniciar os cálculos.

II) Cálculos:

Note que temos uma soma de logaritmos, ou seja, podemos transformá-la em um produto através da propriedade:

$\boxed{\log_{a}(b) + \log_{a}(c) = \log_{a}(b.c) }$

Essa ferramenta só pode ser usada em logaritmos de bases iguais, portanto é o nosso caso.

$\log_{2}(x - 5) + \log_{2}(x + 2) = 3 \\ \\ \log_{2}[(x - 5).(x + 2)] = 3$

Chegando aqui podemos lembrar da definição de Logaritmo que fala:

"A base elevada ao Logaritmo é igual ao logaritmando"

$\log_a\underbrace{(b)}_{logaritmando} = \underbrace{x}_ {logaritmo} \\ a \rightarrow base$

Escrevendo o que a definição fala em forma algébrica, temos que:

$\boxed{\log_{a}(b) = x \leftrightarrow a {}^{x} = b}$

Aplicando a definição onde paramos o cálculo, vamos obter:

$\log_{2}[(x - 5).(x + 2)] = 3 \\ \\ 2 {}^{3} = (x - 5).(x + 2) \\ 8 = (x - 5).(x + 2) \\ 8 = x.x + 2.x - 5.x - 5.2 \\ 8 = x {}^{2} - 3x - 10 \\ x {}^{2} - 3x - 10 - 8 = 0 \\ \bigstar x {}^{2} - 3x - 18 = 0 \bigstar$

Vamos ter que resolver essa equação do segundo grau.

• Coeficientes:

$\begin{cases}a = 1 \\ b = - 3 \\ c = - 18\end{cases}$

• Bháskara:

$\boxed{x = \frac{ - b \pm \sqrt{b {}^{2} - 4.a.c } }{2.a} } \\ \\ x = \frac{ - ( - 3) \pm \sqrt{( - 3) {}^{2} - 4.1. -18) } }{2.1} \\ \\ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 72} }{2} \\ \\ x = \frac{3 \pm \sqrt{81} }{2} \\ \\ x = \frac{3 \pm9}{2} \\ \\ x_1 = \frac{3 + 9}{2} \\ x_1 = \frac{12}{2} \\ \large\green{x_1 = 6} \\ \\ x_2 = \frac{3 - 9}{2} \\ x_2 = \frac{ - 6}{2} \\ \large\red{x_2 = - 3}$

Então temos que os valores de "x" são 6 e -3, mas para saber o resultado de fato, observe a condição de existência.

O "x" deve ser maior que "2" e maior que "5", então podemos descartar o resultado "-3", já que ele é menor que as duas condições de existência.

Portanto temos que a resposta é igual a 6.

Resposta: x = 6.

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️