Log3(x-2)-log9(x-2)=2
Soluções para a tarefa
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Vamos lá.
Veja, Kelvin, que a resolução é simples.
Tem-se:
log₃ (x-2) - log₉ (x-2) = 2
Antes de mais nada, veja que só existe logaritmos de números positivos (>0). então vamos impor que os logaritmandos (x-2) sejam maiores do que zero. Assim, teremos que:
x - 2 > 0
x > 2 <--- Esta é a única condição de existência para a expressão logarítmica da sua questão.
Bem, como já vimos qual é a condição de existência, vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:
log₃ (x-2) - log₉ (x-2) = 2 ------- veja que 9 = 3². Assim:
log₃ (x-2) - log₃² (x-2) = 2
Agora veja isto: há uma propriedade logarítmica que diz: o inverso do expoente da base de um logaritmo passa a multiplicar o respectivo log.
Então ficaremos da seguinte forma:
log₃ (x-2) + (1/2)*log₃ (x-2) = 2 ----- agora passamos o "1/2" para expoente, ficando assim:
log₃ (x-2) + log₃ (x-2)¹/² = 2 ---- como as bases são iguais, então já poderemos transformar a subtração em divisão, com o que ficaremos assim:
log₃ [(x-2)/(x-2)¹/²] = 2 ----- aplicando a definição de logaritmo, teremos isto:
3² = (x-2)/(x-2)¹/² ----- desenvolvendo, teremos:
9 = (x-2)/(x-2)¹/² ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
9*(x-2)¹/² = x-2 ---- note que (x-2)¹/² = √(x-2). Assim, ficaremos:
9√(x-2) = x-2 ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando assim:
[9√(x-2)]² = (x-2)² ---- desenvolvendo, ficaremos com:
81*(x-2) = x² - 4x + 4
81*x - 81*2 = x² - 4x + 4 --- ou apenas:
81x - 162 = x² - 4x + 4 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:
0 = x² - 4x + 4 - 81x + 162 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
0 = x² - 85x + 166 ---- vamos apenas inverter, ficando:
x² - 85x + 166 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:
x' = 2 <---- raiz inválida, pois "x" terá que ser maior do que "2" (veja condição de existência).
x'' = 83 <----- raiz válida, pois atende à condição de existência.
Assim, como viu aí em cima, apenas a segunda raiz (x = 83) atende à condição de existência (x > 2). Logo, a resposta será:
x = 83 <---- Esta é a resposta.
Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x} da seguinte forma, o que significa o mesmo:
S = {83}.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.
Veja, Kelvin, que a resolução é simples.
Tem-se:
log₃ (x-2) - log₉ (x-2) = 2
Antes de mais nada, veja que só existe logaritmos de números positivos (>0). então vamos impor que os logaritmandos (x-2) sejam maiores do que zero. Assim, teremos que:
x - 2 > 0
x > 2 <--- Esta é a única condição de existência para a expressão logarítmica da sua questão.
Bem, como já vimos qual é a condição de existência, vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:
log₃ (x-2) - log₉ (x-2) = 2 ------- veja que 9 = 3². Assim:
log₃ (x-2) - log₃² (x-2) = 2
Agora veja isto: há uma propriedade logarítmica que diz: o inverso do expoente da base de um logaritmo passa a multiplicar o respectivo log.
Então ficaremos da seguinte forma:
log₃ (x-2) + (1/2)*log₃ (x-2) = 2 ----- agora passamos o "1/2" para expoente, ficando assim:
log₃ (x-2) + log₃ (x-2)¹/² = 2 ---- como as bases são iguais, então já poderemos transformar a subtração em divisão, com o que ficaremos assim:
log₃ [(x-2)/(x-2)¹/²] = 2 ----- aplicando a definição de logaritmo, teremos isto:
3² = (x-2)/(x-2)¹/² ----- desenvolvendo, teremos:
9 = (x-2)/(x-2)¹/² ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
9*(x-2)¹/² = x-2 ---- note que (x-2)¹/² = √(x-2). Assim, ficaremos:
9√(x-2) = x-2 ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando assim:
[9√(x-2)]² = (x-2)² ---- desenvolvendo, ficaremos com:
81*(x-2) = x² - 4x + 4
81*x - 81*2 = x² - 4x + 4 --- ou apenas:
81x - 162 = x² - 4x + 4 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:
0 = x² - 4x + 4 - 81x + 162 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
0 = x² - 85x + 166 ---- vamos apenas inverter, ficando:
x² - 85x + 166 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:
x' = 2 <---- raiz inválida, pois "x" terá que ser maior do que "2" (veja condição de existência).
x'' = 83 <----- raiz válida, pois atende à condição de existência.
Assim, como viu aí em cima, apenas a segunda raiz (x = 83) atende à condição de existência (x > 2). Logo, a resposta será:
x = 83 <---- Esta é a resposta.
Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x} da seguinte forma, o que significa o mesmo:
S = {83}.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.
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