Question

log2(3x-1)-logy(x+1)=1/2. resolução pf

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para resolver:

log₂ (3x-1) - logᵧ (x+1) = 1/2

Antes vamos às condições de existência:

3x-1 > 0
3x > 1
x > 1/3

x+1 > 0
x > -1

e

y > 0 e y ≠ 1.

Agora veja: entre "x" ser maior que "1/3" e ser maior do que "-1", vai prevalecer maior que "1/3", pois sendo "x" maior que "1/3" já é maior do que "-1".
E as condições de existência para a base "y" continuarão a ser as mesmas aí de cima, ou seja: y > 0 e y ≠ 1.

Assim, resumindo, temos que as condições de existência para "x" e para "y" serão estas:

x > 1/3
y > 0 e y ≠ 1 .

Agora vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

log₂ (3x-1) - logᵧ (x+1) = 1/2

Veja, Samuel, que temos logaritmos na base "2" e na base "y".
Então vamos deixar tudo na mesma base. Para isso ou passamos a base "2" para a base "y" ou passamos a base "y" para a base "2". Vamos adotar esta última hipótese (passar a base "y" para a base "2"). Assim, teremos isto:

log₂ (3x-1) - log₂ (x+1)/log₂ (y) = 1/2 ----- mmc = log₂ (y). Assim, utilizando-o em toda a expressão, teremos:

log₂ (y)*log₂ (3x-1) - 1*log₂ (x+1) = log₂ (y)*(1/2) ---- ou, o que é a mesma coisa:

log₂ (y)*log₂ (3x-1) - log₂ (x+1) = (1/2)*log₂ (y) ---- veja que isto é a mesma coisa que:

log₂ (y)*log₂ [(3x/1)/(x+1)] = (1/2)*log₂ (y) ---- Considerando que "y" atenda às condições de existência vistas anteriormente, poderemos dividir ambos os membros por log₂ (y), ficando assim:

log₂ [(3x-1)/(x+1)] = (1/2) ----- agora note: conforme a definição de logaritmos, teremos que:

2¹/² = (3x-1)/(x+1) ---- considerando que "x" atenda às condições de existência, então poderemos multiplicar em cruz, ficando:

(x+1)*2¹/² = 3x-1 ----- note que 2¹/² = √(2). Assim:
(x+1)*√(2) = 3x-1 ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos assim:

[(x+1)*√(2)]² = (3x-1)² ---- desenvolvendo os quadrados nos dois membros, teremos:

(x²+2x+1)*2 = 9x² - 6x + 1 --- efetuando o produto indicado no 1º membro, temos:

2x² + 4x + 2 = 9x² - 6x + 1 ---- vamos passar todo o 1º membro para o 2º, ficando:

0 = 9x² - 6x + 1 - 2x² - 4x - 2 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:

0 = 7x² - 10x - 1 ---- ou, invertendo-se, teremos:
7x² - 10x - 1 = 0 ----- aplicando Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

x' = [5-4√(2)]/7 <--- raiz descartada, pois este número é negativo. E se formos utilizar este número no lugar de "x" vamos ter um dos logs com logaritmando negativo e isso não existe.

x'' = [5+4√(2)]/7 <---- raiz válida, pois este número,além de positivo, é maior do que "1/3", o que atende à condição de existência quanto a "x".

Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.