Question

log x na base 3+ log 3 na base x = -2

Answer 1

Resolver a equação

$\mathrm{\ell og}_{3\,}x+\mathrm{\ell og}_{x\,}3=-2$


Condições de existência dos logaritmos:

o logaritmando deve ser positivo;

a base deve ser positiva e diferente de $1.$


Então, temos as seguintes restrições:

$x>0\;\;\text{ e }\;\;x \neq 1$


$\mathrm{\ell og}_{3\,}x+\mathrm{\ell og}_{x\,}3=-2\\ \\ \mathrm{\ell og}_{3\,}x+\dfrac{1}{\mathrm{\ell og}_{3\,}x}=-2$


Fazendo $y=\mathrm{\ell og}_{3\,}x,$ temos

$y+\dfrac{1}{y}=-2\\ \\ y+2=-\dfrac{1}{y}\\ \\ y\,(y+2)=-1\\ \\ y^{2}+2y+1=0\\ \\ (y+1)^{2}=0\\ \\ y+1=0\\ \\ y=-1$


Substituindo de volta, temos

$\mathrm{\ell og}_{3\,}x=-1\\ \\ x=3^{-1}\\ \\ x=\dfrac{1}{3}$