Question

log(x-5)+log(2x-20)=2

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Amanda, que é simples. Tem-se:

log₁₀ (x-5) + log₁₀ (2x-20) = 2 ---- note que estamos trabalhando com base 10, pois quando a base é omitida, subentende-se que ela seja "10").

Antes, vamos para as condições de existência. Como só existem logaritmos de números positivos, então deveremos impor que os logaritmandos sejam ambos maiores do que zero. Assim,, deveremos ter:

x - 5 > 0
x > 5
e
2x - 20 > 0
2x > 20
x > 20/2
x > 10.

Agora veja: entre "x" ser maior do que "5" e ser maior do que "10", então vai prevalecer x > 10, pois sendo "x" maior do que "10" já é maior do que "5". Logo, a única condição de existência é esta:

x > 10 ----- Esta é a única condição de existência da expressão da sua questão. 

Agora vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

log₁₀ (x-5) + log₁₀ (2x-20) = 2 ---- vamos transformar a soma em produto, ficando:

log₁₀ [(x-5)*(2x-20)] = 2 ---- efetuando o produto, teremos: 
log₁₀ (2x²-30x+100) = 2 ---- agora note: pela definição de logaritmo, teremos isto:

10² = 2x² - 30x + 100 ----- desenvolvendo, teremos:
100 = 2x² - 30x + 100 ----- passando "100" do 2º para o 1º membro, temos:
100 - 100 = 2x² - 30x
0 = 2x² - 30x --- ou, invertendo-se:
2x² - 30x = 0 ---- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", ficando:

x² - 15x = 0 ------ colocando-se "x" em evidência, teremos;
x*(x - 15) = 0 ---- note que temos aqui um produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso corre, teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0 ---> x' = 0
ou
x - 15 = 0 ---> x'' = 15.

Mas, como já vimos nas condições de existência que "x" terá que ser MAIOR do que "10", então vamos ficar apenas com a raiz igual a "15", ou seja, teremos que a resposta será:

x = 15 <--- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma:

S = {15} .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.