log raiz quarta de 8 na base 1/4
Soluções para a tarefa
Explicação passo-a-passo:
Neste exercício, vamos utilizar propriedades de logaritmos e potencias.
\log_{_{\frac{1}{4}}}\sqrt[4]{8}~=~xlog
4
1
4
8
= x
Vamos começar lembrando que um radical pode ser escrito como uma potência de expoente fracionário, como mostrado no exemplo abaixo.
\boxed{\sqrt[b]{a^c}~=~a^\frac{c}{b}}
b
a
c
= a
b
c
O logaritmo pode ser reescrito então como:
\log_{_{\frac{1}{4}}}8^{\frac{1}{4}}~=~xlog
4
1
8
4
1
= x
A base do logaritmo (1/4) pode ser reescrita como uma potência de expoente negativo.
\log_{_{4^{-1}}}8^{\frac{1}{4}}~=~xlog
4
−1
8
4
1
= x
Aplicando a definição de logaritmo:
8^{\frac{1}{4}}~=~\left(4^{-1}\right)^x8
4
1
= (4
−1
)
x
Reescrevendo as bases 4 e 8 como potências de base 2, teremos:
\left(2^3\right)^{\frac{1}{4}}~=~\left(\left(2^2\right)^{-1}\right)^x(2
3
)
4
1
= ((2
2
)
−1
)
x
Aplicando a propriedade da potência de potência:
\begin{gathered}2^{3\cdot\frac{1}{4}}~=~2^{2\cdot(-1)\cdot x}\\\\\\2^{\frac{3}{4}}~=~2^{-2x}\end{gathered}
2
3⋅
4
1
= 2
2⋅(−1)⋅x
2
4
3
= 2
−2x
Chegamos a uma igualdade de potencias de mesma base, para que a igualdade seja mantida, os expoentes devem ser também iguais.
\begin{gathered}\backslash\!\!\!2^{\frac{3}{4}}~=~\backslash\!\!\!2^{-2x}\\\\\\\dfrac{3}{4}~=\,-2x\\\\\\x~=~\dfrac{3}{4\cdot(-2)}\\\\\\\boxed{x~=\,-\dfrac{3}{8}}~~~\Rightarrow~Resposta\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio\end{gathered}
\2
4
3
= \2
−2x
4
3
=−2x
x =
4⋅(−2)
3
x =−
8
3
⇒ Resposta
Δo⊥
Qualquer d
u
ˊ
vida, deixe um coment
a
ˊ
rio