Question

Log

log2 x + log4 x + log8 x = 1 1


log2 x + log2 ( x − 3) = 2


(log5x )² + log5x = 6


log( x− 1) > log(9 − x ).


Caso só saiba alguns deles, estou aceitando tbm

Answer 1

Resposta:

1)  x = 64            2 ) x = 4       3)           4)  x > 5  ou ( 5 ; + ∞ )

Explicação passo a passo:

Observação 1 → Definição de logaritmo

$log_{b} (a) = x$    ⇔  $a=b^{x}$    

lê-se:

logaritmo de "a", na base "b" , igual a "x"

é

o mesmo que dizer   $a=b^{x}$

1 )

$log_{2}(x)+log_{4}(x) +log_{8} (x) =11$

Prova-se que  :

$log_{a^{m} } (x) = \frac{1}{m} *log_{a} (x)$

Assim

$log_{4} (x) =log_{2^2} (x) =\frac{1}{2} *log_{2}(x)$

e

$log_{8} (x) =log_{2^3}=\frac{1}{3} *log_{2}(x)$

$log_{2} (x) +\frac{1}{2} *log_{2}(x) +\frac{1}{3}*log_{2}(x)=11$

Colocando em evidência   $log_{2}(x)$ :

$log_{2}(x)*(1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3}) =11$  

Para adicionar frações, têm que ter o mesmo denominador

$log_{2}(x)*(\frac{6}{6} +\frac{1*3}{2*3} +\frac{1*2}{3*2}) =11$  

$log_{2}(x)*\frac{11}{6} =11$  

dividindo ambos os membros por 11/6

No primeiro 11/6 a dividir por 11/6 , cancelam-se

Cálculo auxiliar para o segundo membro

$11:\frac{11}{6}$

$\frac{11}{1} :\frac{11}{6}$

$\frac{11}{1} *\frac{6}{11}=\frac{11*6}{11*1} =6$

$log_{2}(x) =6$

Pela definição de logaritmo

$x = 2^6$

x = 64

2 )

$log_{2} (x)+log_{2} (x-3)=2$

Observação 2  → Regra para soma de logaritmos:

$log ( a * b ) =log (a) + log (b)$

Ter uma soma de logaritmos é o mesmo que ter o logaritmo do produto.

$log_{2} (x*(x-3))=2$

$log_{2} (x^2-3x)=2$

$log_{2} (x^2-3x)=2$

Assim pela definição de logaritmo:

$x^{2} -3x=2^{2}$

É uma equação do 2º grau, passar tudo para primeiro membro

$x^{2} -3x=4$

$x^{2} -3x-4=0$

Resolver por Fórmula de Bhascara

x = ( -b ± √Δ ) /2a     com   Δ  = b² - 4 * a * c

a =   1

b = - 3

c = - 4

Δ = ( - 3 )² - 4 * 1 * ( - 4 ) = 9 + 16 = 25

√Δ = √25 = 5

x1 = ( - ( - 3 ) + 5 ) / (2*1)

x1 = ( + 3 + 5 ) /2

x1 = 8/2

x1 = 4

x2 = ( - ( - 3 ) - 5 ) / 2

x2 = ( 3 - 5 ) / 2

x2 = - 2 / 2

x2= - 1      

Temos que rejeitar esta solução.

Ela conduz a :

$log_{2} (-1)$  

$log_{2} (-1 - 3) = log_{2} (-4)$  

O que é impossível de calcular pois não existem logaritmos de valores

negativos.

 

A solução que resta é x = 4

3)

$(log _{5} (x))^2 + log _{5} (x)=6$            

Já resolvido noutra tarefa.

4)

$log ( x - 1 ) > log ( 9 - x )$

Observação 3 → Quando não está indicada a base, qual é ela ?

Sempre que não seja indicada a base, a que se aplica é a base 10.

O não aparecer a base e ser 10 é um modo de simplificar a escrita simbólica

que os matemáticos acordaram entre eles.

Observação 4 → Quando temos uma inequação com logaritmos acontecem

duas situações distintas:

1ª - Se a base for maior que 1 , o sentido da inequação mantém-se.

Se está  " > "   fica assim durante todos os cálculos

2ª - Se a base for menor que 1 , o sentido da inequação altera-se.

Se está  " > "   fica  " < "  durante todos os cálculos

Se está  " < "   fica  " > "  durante todos os cálculos

$log ( x - 1 ) > log ( 9 - x )$  

será verdadeiro quando

x -1 > 9 - x

x + x > 9 + 1

2x > 10

2x /2 > 10 / 2

x > 5     ou na forma de intervalo   ( 5, + ∞ ) extremos do intervalo não

incluídos.

 

Verificação

$log ( 6 - 1 ) > log ( 9 - 6 )$

$log ( 5 ) > log ( 3 )$

0,6989  >  0,4771     verdadeiro e verificado

Bons estudos.    

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( * ) multiplicação              ( / ) divisão                   ( < ) menor do que

( > ) maior do que     ( x1 ; x2) designação dada às raízes da equação )

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